Warum verlangt man gewöhnlich Bi < 0,1?

Der Widerstand der Wärmeleitung im Innern ist dann klein gegen den konvektiven Widerstand an der Oberfläche, daher ist die Temperatur im Innern nahezu gleichmäßig.

Was bedeutet die Zeitkonstante τ?

Nach einem τ ist die Temperaturdifferenz zur Umgebung auf e^{−1} gefallen, also auf etwa 37 % des Anfangswerts. Nach etwa 5τ liegt der Körper schon nahe an der Umgebungstemperatur.

Konzentrierte Wärmekapazität

Q: Warum verlangt man gewöhnlich Bi < 0,1?

Der Widerstand der Wärmeleitung im Innern ist dann klein gegen den konvektiven Widerstand an der Oberfläche, daher ist die Temperatur im Innern nahezu gleichmäßig.

Q: Was bedeutet die Zeitkonstante τ?

Nach einem τ ist die Temperaturdifferenz zur Umgebung auf e^{−1} gefallen, also auf etwa 37 % des Anfangswerts. Nach etwa 5τ liegt der Körper schon nahe an der Umgebungstemperatur.

Abkühlung eines Körpers bei kleiner Biot-Zahl: Newtonsches Gesetz, charakteristische Länge, Zeit τ = ρVc/(hA), Kurve T(t) und Prüfung Bi < 0,1.

Die Methode der konzentrierten Parameter setzt die Temperatur im Innern des Körpers als gleichmäßig an. Sie ist am zuverlässigsten bei Bi < 0,1; größeres Bi bedeutet wesentliche innere Temperaturgradienten.

Diagramme

Zum Modell

Bei der Methode der konzentrierten Wärmekapazität gilt die Temperatur des Körpers im ganzen Volumen als einheitlich, während er durch Konvektion abkühlt oder aufheizt. Die Anwendbarkeit setzt die Biot-Zahl: Bi = h L_c / k, mit der charakteristischen Länge L_c = V/A. Bei Bi < 0,1 ist die Wärmeleitung im Innern schnell genug, innere Gradienten bleiben klein. Der Übergang folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz: T(t) = T_∞ + (T_0 − T_∞) exp(−t/τ), mit τ = ρVc/(hA). Man ändert Form, Stoffwerte, Wärmeübergangskoeffizient und Größe — und sieht, wie Bi und τ sich ändern. Nicht berücksichtigt sind Strahlung, ungleichmäßiges h, Phasenwechsel und mehrdimensionale Wärmeleitung bei großem Bi.

Für wen: Wärmeübertragung: Abkühlung eines Körpers bei kleiner Biot-Zahl, Newtonsches Abkühlungsgesetz.

Wichtige Begriffe

konzentrierte Wärmekapazität
Biot-Zahl
Newtonsches Abkühlungsgesetz
Zeitkonstante
charakteristische Länge

So funktioniert es

Die Methode der konzentrierten Wärmekapazität gilt, wenn Bi=hL_c/k < 0,1, also die innere Wärmeleitung schneller ist als die Konvektion an der Oberfläche. Dann hat der ganze Körper eine Temperatur: T(t)=T∞+(T0−T∞)e^(−t/τ), τ=ρVc/(hA). Die Grafik zeigt die exponentielle Annäherung an die Umgebungstemperatur.

Wichtige Gleichungen

Bi = h L_c / k, L_c = V/A

T(t) = T∞ + (T0 − T∞) exp(−t/τ), τ = ρ V c / (h A)

Häufige Fragen

Warum verlangt man gewöhnlich Bi < 0,1?: Der Widerstand der Wärmeleitung im Innern ist dann klein gegen den konvektiven Widerstand an der Oberfläche, daher ist die Temperatur im Innern nahezu gleichmäßig.
Was bedeutet die Zeitkonstante τ?: Nach einem τ ist die Temperaturdifferenz zur Umgebung auf e^{−1} gefallen, also auf etwa 37 % des Anfangswerts. Nach etwa 5τ liegt der Körper schon nahe an der Umgebungstemperatur.

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