Warum nicht mehr als sieben Muster?

Die klassische Hopfield-Kapazität für zufällige mittelwertfreie Muster liegt in dieser Normierung bei etwa P ~ 0,14 N; sieben ist ein Spielraum für N = 100, bevor Überlagerungen und Scheinzustände dominieren.

Senkt auch eine synchrone Aktualisierung die Energie?

Nicht unbedingt. Der übliche Lyapunov-Beweis gilt für aufeinanderfolgende Einzelschritte; parallele Durchläufe können E anheben und oszillieren.

Was bedeutet „beste Überlappung“?

Für das Muster μ ist m_μ = N⁻¹ Σ_i ξ_i^μ S_i die Übereinstimmung des aktuellen Zustands mit der Erinnerung; in der Seitenleiste wird das Muster mit dem größten |m_μ| hervorgehoben — ein schneller Hinweis, „welchem Gedächtnis man näher ist“, nahe der Konvergenz.

Hopfield-Netz

Binäres Netz 10×10: Hebb-Regel zum Speichern von Mustern, Energie E = −½ Σ w_ij S_i S_j und asynchrone Schritte — Abstieg zu Attraktoren und Wiederherstellen nach Rauschen.

Zum Modell

Das klassische Hopfield-Netz speichert binäre Muster ξ^μ auf N = 100 Spins als Gitter 10×10. Symmetrische Hebb-Gewichte w_ij = (1/N) Σ_μ ξ_i^μ ξ_j^μ (Diagonale null) setzen die Lyapunov-Funktion (Energie) E = −½ Σ_{i,j} w_ij S_i S_j. Asynchrone Schritte bei Temperatur null, S_i ← sign(Σ_j w_ij S_j), erhöhen E nicht, daher relaxieren verrauschte Konfigurationen zu Attraktoren — anschauliches assoziatives Gedächtnis und Energielandschaft, mit Vorbehalten zu Kapazität und Scheinminima, wenn P wächst. Bis zu sieben Muster; Rauschen kehrt einen Anteil der Spins um, danach folgt der asynchrone Abstieg.

Für wen: Statistische Physik und Einführung in neuronale Netze im Studium: assoziatives Gedächtnis und Hopfield-Energie.

Wichtige Begriffe

Hopfield-Netz
Hebb-Regel
assoziatives Gedächtnis
Energiefunktion
Attraktor
asynchrone Dynamik

So funktioniert es

Gitter 10×10 (N = 100), Spins ±1: Zeichnen mit dem Pinsel, „Muster merken“ fügt das Muster in die Hebb-Regel w_ij = (1/N) Σ_μ ξ_i^μ ξ_j^μ ein; Rauschen kehrt einen Anteil der Spins um; Start der Wiederherstellung — zufällige asynchrone Schritte S_i ← sign(h_i); Energie E = −½ Σ w_ij S_i S_j und Streifen E(t); Überlappungen mit dem Gedächtnis; bis zu 7 Muster.

Wichtige Gleichungen

w_ij = (1/N) Σ_μ ξ_i^μ ξ_j^μ (i ≠ j), E = −½ Σ_{i,j} w_ij S_i S_j, update: pick i at random, set S_i = sign(Σ_j w_ij S_j) (tie keeps S_i).

Häufige Fragen

Warum nicht mehr als sieben Muster?: Die klassische Hopfield-Kapazität für zufällige mittelwertfreie Muster liegt in dieser Normierung bei etwa P ~ 0,14 N; sieben ist ein Spielraum für N = 100, bevor Überlagerungen und Scheinzustände dominieren.
Senkt auch eine synchrone Aktualisierung die Energie?: Nicht unbedingt. Der übliche Lyapunov-Beweis gilt für aufeinanderfolgende Einzelschritte; parallele Durchläufe können E anheben und oszillieren.
Was bedeutet „beste Überlappung“?: Für das Muster μ ist m_μ = N⁻¹ Σ_i ξ_i^μ S_i die Übereinstimmung des aktuellen Zustands mit der Erinnerung; in der Seitenleiste wird das Muster mit dem größten |m_μ| hervorgehoben — ein schneller Hinweis, „welchem Gedächtnis man näher ist“, nahe der Konvergenz.

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