Pourquoi pas plus de sept motifs ?

La capacité classique de Hopfield pour des motifs aléatoires non biaisés est de l’ordre de P ~ 0,14 N dans cette normalisation ; sept est une marge pour N = 100, tant que les superpositions et les états parasites ne dominent pas.

Une mise à jour synchrone abaisse-t-elle aussi l’énergie ?

Pas forcément. La preuve standard de Lyapunov concerne les pas isolés successifs ; des balayages parallèles peuvent relever E et produire des oscillations.

Que signifie « meilleur recouvrement » ?

Pour le motif μ, la grandeur m_μ = N⁻¹ Σ_i ξ_i^μ S_i mesure l’accord de l’état courant avec la mémoire ; le panneau latéral met en évidence le motif de plus grand |m_μ|, comme indication rapide « vers quelle mémoire on est le plus proche » près de la convergence.

Réseau de Hopfield

Réseau binaire 10×10 : règle de Hebb pour mémoriser des motifs, énergie E = −½ Σ w_ij S_i S_j et mises à jour asynchrones — descente vers les attracteurs et rappel après bruit.

À propos du modèle

Le réseau de Hopfield classique stocke des motifs binaires ξ^μ sur N = 100 spins disposés en grille 10×10. Les poids symétriques de Hebb w_ij = (1/N) Σ_μ ξ_i^μ ξ_j^μ (diagonale nulle) définissent une fonction de Lyapunov (énergie) E = −½ Σ_{i,j} w_ij S_i S_j. Les mises à jour asynchrones à température nulle S_i ← sign(Σ_j w_ij S_j) n’augmentent pas E, donc les configurations bruitées relaxent vers des attracteurs — mémoire associative et paysage d’énergie, avec les réserves d’usage sur la capacité et les minima parasites quand P croît. Jusqu’à sept motifs ; le bruit retourne une fraction des spins, puis commence la descente asynchrone.

Public : Physique statistique de licence et introduction aux réseaux de neurones : mémoire associative et énergie de Hopfield.

Notions clés

réseau de Hopfield
règle de Hebb
mémoire associative
fonction d’énergie
attracteur
dynamique asynchrone

Comment ça marche

Grille 10×10 (N = 100), spins ±1 : dessin au pinceau, « Mémoriser le motif » ajoute le motif à la règle de Hebb w_ij = (1/N) Σ_μ ξ_i^μ ξ_j^μ ; le bruit retourne une fraction des spins ; le rappel lance des pas asynchrones aléatoires S_i ← sign(h_i) ; énergie E = −½ Σ w_ij S_i S_j et bande E(t) ; recouvrements avec la mémoire ; jusqu’à 7 motifs.

Formules

w_ij = (1/N) Σ_μ ξ_i^μ ξ_j^μ (i ≠ j), E = −½ Σ_{i,j} w_ij S_i S_j, update: pick i at random, set S_i = sign(Σ_j w_ij S_j) (tie keeps S_i).

Questions fréquentes

Pourquoi pas plus de sept motifs ?: La capacité classique de Hopfield pour des motifs aléatoires non biaisés est de l’ordre de P ~ 0,14 N dans cette normalisation ; sept est une marge pour N = 100, tant que les superpositions et les états parasites ne dominent pas.
Une mise à jour synchrone abaisse-t-elle aussi l’énergie ?: Pas forcément. La preuve standard de Lyapunov concerne les pas isolés successifs ; des balayages parallèles peuvent relever E et produire des oscillations.
Que signifie « meilleur recouvrement » ?: Pour le motif μ, la grandeur m_μ = N⁻¹ Σ_i ξ_i^μ S_i mesure l’accord de l’état courant avec la mémoire ; le panneau latéral met en évidence le motif de plus grand |m_μ|, comme indication rapide « vers quelle mémoire on est le plus proche » près de la convergence.

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