¿Por qué la curva de Bose–Einstein sube tanto cerca de μ?

En el gas de Bose ideal la ocupación diverge al E → μ⁺. En la realidad las interacciones y el volumen finito quitan la singularidad; en el modelo se descartan o se recortan los puntos con denominador no físico.

¿Cuándo coincide Maxwell–Boltzmann con Fermi–Dirac?

Si las ocupaciones son pequeñas, f ≪ 1, el veto de Pauli no importa y f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. La razón f_MB / f_FD del panel lateral tiende a 1 en ese régimen.

¿Por qué el gas de Bose se dibuja solo si E > μ?

Si no, el denominador e^{β(E−μ)} − 1 cambia de signo o se anula: la ocupación media del nivel no está definida. El potencial químico de un gas de Bose ideal no puede superar la energía del nivel fundamental.

Distribuciones de Bose-Einstein y Fermi-Dirac

Ocupación f(E) en el ensamble gran canónico a los mismos T y μ: Fermi–Dirac, Bose–Einstein y Maxwell–Boltzmann clásico.

Ocupación frente a la energía de una partícula E (mismos μ y k_B T). La gráfica principal está abajo: suba T o mueva μ para ver cómo se suaviza FD y cómo MB se acerca a FD en la cola diluida.

Gráficas

Sobre el modelo

Para partículas idénticas sin interacción, en equilibrio con un reservorio a T y μ, la ocupación media de un nivel de una partícula con energía E la fija la estadística cuántica. Fermi–Dirac, con el principio de exclusión de Pauli: f_FD = 1/(e^{β(E−μ)} + 1). Bose–Einstein: f_BE = 1/(e^{β(E−μ)} − 1) si E > μ en el gas ideal (la divergencia al E → μ⁺ es la región de condensación; aquí no se tratan por completo las interacciones). El Maxwell–Boltzmann clásico f_MB = e^{β(μ−E)} es el límite diluido. La gráfica superpone las tres funciones a los mismos T y μ.

Para quién: Termodinámica y estadística cuántica de facultad: ensamble gran canónico.

Conceptos clave

distribución de Fermi–Dirac
distribución de Bose–Einstein
distribución de Maxwell–Boltzmann
potencial químico
ensamble gran canónico
principio de Pauli

Cómo funciona

Partículas idénticas sin interacción en el ensamble gran canónico: ocupación media de un nivel de energía E a temperatura T y potencial químico μ. Fermi–Dirac f_FD = 1/(e^{β(E−μ)}+1) por el veto de Pauli; Bose–Einstein f_BE = 1/(e^{β(E−μ)}−1) si E > μ; Maxwell–Boltzmann clásico f_MB = e^{β(μ−E)}, límite diluido f ≪ 1. Tres curvas en la misma gráfica, a los mismos k_B T y μ. En el gas de Bose, f_BE crece al E → μ⁺; en el modelo la curva se recorta para poder compararla con Fermi–Dirac.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la curva de Bose–Einstein sube tanto cerca de μ?: En el gas de Bose ideal la ocupación diverge al E → μ⁺. En la realidad las interacciones y el volumen finito quitan la singularidad; en el modelo se descartan o se recortan los puntos con denominador no físico.
¿Cuándo coincide Maxwell–Boltzmann con Fermi–Dirac?: Si las ocupaciones son pequeñas, f ≪ 1, el veto de Pauli no importa y f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. La razón f_MB / f_FD del panel lateral tiende a 1 en ese régimen.
¿Por qué el gas de Bose se dibuja solo si E > μ?: Si no, el denominador e^{β(E−μ)} − 1 cambia de signo o se anula: la ocupación media del nivel no está definida. El potencial químico de un gas de Bose ideal no puede superar la energía del nivel fundamental.

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