Почему кривая Бозе–Эйнштейна резко растёт у μ?

У идеального бозе-газа заселённость расходится при E → μ⁺. В реальности взаимодействия и конечный объём снимают сингулярность; в модели точки с нефизичным знаменателем отбрасываются или ограничиваются.

Когда распределение Максвелла–Больцмана совпадает с Ферми–Дираком?

При малых заселённостях f ≪ 1 запрет Паули не важен и f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. Отношение f_MB / f_FD в боковой панели стремится к 1 в этом режиме.

Почему бозе-газ рисуют только при E > μ?

Иначе знаменатель e^{β(E−μ)} − 1 меняет знак или обращается в нуль: средняя заселённость уровня не определена. Химический потенциал идеального бозе-газа не может превысить энергию основного уровня.

Распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака

Заполнение f(E) в большом каноническом ансамбле при одних T и μ: Ферми–Дирак, Бозе–Эйнштейн и классический Максвелл–Больцман.

Большой канонический (одночастичный уровень)

k_B T (в единицах энергии)0.35

Химический потенциал μ-0.2

Максимум оси E3

Идеальный газ в БК-ансамбле: Ферми–Дирак f_FD = 1/(e^{β(E−μ)}+1); Бозе–Эйнштейн f_BE = 1/(e^{β(E−μ)}−1) при E > μ; классический Максвелл–Больцман f_MB = e^{β(μ−E)} (разрежённый предел f ≪ 1). Одни T и μ для сравнения; f_BE расходится при E → μ⁺. Кривые БЭ и МБ на графике мягко ограничены сверху (8), чтобы ФД всегда оставалась видимой.

Измеренные величины

f_MB / f_FD при E = 0,5·E_max1.008

Заполнение против одночастичной энергии E (одни μ и k_B T). Основной график ниже — увеличьте T или сдвиньте μ, чтобы увидеть смягчение ФД и сближение МБ с ФД в разрежённом хвосте.

Графики

О модели

Для невзаимодействующих тождественных частиц в равновесии с резервуаром при T и μ средняя заселённость одночастичного уровня с энергией E задаётся квантовой статистикой. Ферми–Дирак с принципом запрета Паули: f_FD = 1/(e^{β(E−μ)} + 1). Бозе–Эйнштейн: f_BE = 1/(e^{β(E−μ)} − 1) при E > μ в идеальном газе (расходимость при E → μ⁺ — область конденсации, здесь без полного учёта взаимодействий). Классический Максвелл–Больцман f_MB = e^{β(μ−E)} — разреженный предел. График накладывает все три функции при одних и тех же T и μ.

Для кого: Вузовская термодинамика и квантовая статистика: большой канонический ансамбль.

Ключевые понятия

распределение Ферми–Дирака
распределение Бозе–Эйнштейна
распределение Максвелла–Больцмана
химический потенциал
большой канонический ансамбль
принцип Паули

Как это работает

Невзаимодействующие тождественные частицы в большом каноническом ансамбле: средняя заселённость уровня с энергией E при температуре T и химическом потенциале μ. Ферми–Дирак f_FD = 1/(e^{β(E−μ)}+1) из-за запрета Паули; Бозе–Эйнштейн f_BE = 1/(e^{β(E−μ)}−1) при E > μ; классический Максвелл–Больцман f_MB = e^{β(μ−E)} — разреженный предел f ≪ 1. Три кривые на одном графике при одних k_B T и μ. У бозе-газа f_BE растёт при E → μ⁺; в модели кривая ограничена, чтобы оставаться сравнимой с Ферми–Дираком.

Часто задаваемые вопросы

Почему кривая Бозе–Эйнштейна резко растёт у μ?: У идеального бозе-газа заселённость расходится при E → μ⁺. В реальности взаимодействия и конечный объём снимают сингулярность; в модели точки с нефизичным знаменателем отбрасываются или ограничиваются.
Когда распределение Максвелла–Больцмана совпадает с Ферми–Дираком?: При малых заселённостях f ≪ 1 запрет Паули не важен и f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. Отношение f_MB / f_FD в боковой панели стремится к 1 в этом режиме.
Почему бозе-газ рисуют только при E > μ?: Иначе знаменатель e^{β(E−μ)} − 1 меняет знак или обращается в нуль: средняя заселённость уровня не определена. Химический потенциал идеального бозе-газа не может превысить энергию основного уровня.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 46 в «Термодинамика».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Модель Изинга (2D)

Запустить симулятор

Алгоритм Метрополиса на квадратной решётке: kT/J, намагниченность |m| и энергия; T_c ≈ 2,27; опциональное поле h.

НовоеШкольные

Распределение Максвелла–Больцмана

Запустить симулятор

Гистограмма модуля скорости |v| из гауссовых компонент в сравнении с трёхмерной плотностью вероятности Максвелла; температура и размер выборки.

НовоеУниверситет / научные

Эффекты Пельтье и Зеебека

Запустить симулятор

Ток переносит тепло через контакт; разность температур ΔT создаёт напряжение в милливольтах — одна термопара, два режима.

НовоеУниверситет / научные

Перколяция узлов на квадратной решётке

Запустить симулятор

Вероятность занятия узла p: кластеры, протекание слева направо, порог p_c ≈ 0,593; грубая оценка размерности наибольшего кластера по покрытию квадратами.

НовоеУниверситет / научные

Демон Максвелла

Запустить симулятор

Плоский бильярд с воротами: быстрые частицы проходят по порогу |v|; средние ⟨|v|⟩ слева и справа; принцип Ландауэра.

НовоеУниверситет / научные

Изотермы Ван-дер-Ваальса

Запустить симулятор

Приведённые P_r, V_r, T_r; критическая точка; петля ниже T_c (построение Максвелла не выполняется).

Распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака

Графики

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Модель Изинга (2D)

Распределение Максвелла–Больцмана

Эффекты Пельтье и Зеебека

Перколяция узлов на квадратной решётке

Демон Максвелла

Изотермы Ван-дер-Ваальса

Распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака

Графики

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы