¿Por qué la relación de tensiones crece en forma exponencial y no lineal?

La fricción en cada trozo de arco depende de la tensión local. Más adelante en el enrollado, T es mayor, mayor es la normal y mayor el aporte de fricción en el trozo siguiente. Integrar ese «porcentaje sobre porcentaje» da e^{μφ}.

¿Vale la fórmula si la cuerda ya resbala?

T₂ = T₁ e^{μφ} es la condición de reposo límite, cuando la fricción en todo el arco es la fricción estática máxima. Si hay deslizamiento se toma el coeficiente cinético, en general menor, y también importa la inercia de la cuerda. Aquí se modela la sujeción estática límite.

¿Cómo estropean el cuadro ideal el grosor y la rigidez de la cuerda?

El modelo toma la cuerda infinitamente delgada y flexible. Una cuerda gruesa o rígida se resiste a doblarse, la presión sobre el cilindro se reparte de otro modo y cambia la fricción efectiva. Para el cálculo de un capstán eso ya es una corrección de ingeniería.

¿Dónde se usa esto en la práctica?

Un cabo en un capstán o en una bita: unas cuantas vueltas y una persona sujeta el cabo de un barco. Con μ ≈ 0,3 y tres vueltas completas (φ = 6π) la relación es del orden de e^{0,3·6π} ≈ 500: un esfuerzo de 10 N sostiene unos 5 kN.

Cuerda en un cilindro

Relación límite de tensiones T₂ = T₁ e^{μφ}: coeficiente de fricción μ y ángulo de abrazamiento φ. Vista superior y gráfica de T₂/T₁ frente a φ.

Gráficas

Sobre el modelo

Una cuerda enrollada en un cilindro fijo sostiene una tensión T₂ con un esfuerzo T₁ mucho menor en el extremo libre. En el equilibrio límite T₂ = T₁ e^{μφ}, donde μ es el coeficiente de fricción y φ el ángulo de abrazamiento en radianes (fórmula de Euler–Eytelwein). En un elemento pequeño de arco la normal es proporcional a la tensión y la fricción vale μ dN; al integrar en φ se obtiene la exponencial. Se pueden variar μ, φ y T₁; la gráfica muestra cómo crece T₂/T₁ con el ángulo de abrazamiento. El cilindro es rígido e inmóvil, la cuerda es perfectamente flexible y la fricción alcanza el límite en todo el contacto.

Para quién: Bachillerato avanzado y primer curso: fricción, estática, fórmula de Euler para un hilo flexible.

Conceptos clave

fórmula de Euler–Eytelwein
fricción
tensión
coeficiente de fricción
ángulo de abrazamiento
equilibrio límite
capstán

Cómo funciona

Una cuerda flexible abraza un cilindro rugoso (capstán, bita, tambor de freno). Con μ constante y ángulo de abrazamiento φ en radianes, la relación límite de tensiones antes del resbalamiento es T₂/T₁ = e^{μφ}. Varias vueltas aumentan mucho φ y, aun con un μ modesto, la ganancia de tensión se vuelve grande. En pantalla, vista superior y gráfica de T₂/T₁ frente a φ.

Fórmulas principales

T₂ = T₁ e^(μφ) (φ en radianes)

μ es la fricción cuerda–tambor; cuerda idealmente flexible, flexión despreciable.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la relación de tensiones crece en forma exponencial y no lineal?: La fricción en cada trozo de arco depende de la tensión local. Más adelante en el enrollado, T es mayor, mayor es la normal y mayor el aporte de fricción en el trozo siguiente. Integrar ese «porcentaje sobre porcentaje» da e^{μφ}.
¿Vale la fórmula si la cuerda ya resbala?: T₂ = T₁ e^{μφ} es la condición de reposo límite, cuando la fricción en todo el arco es la fricción estática máxima. Si hay deslizamiento se toma el coeficiente cinético, en general menor, y también importa la inercia de la cuerda. Aquí se modela la sujeción estática límite.
¿Cómo estropean el cuadro ideal el grosor y la rigidez de la cuerda?: El modelo toma la cuerda infinitamente delgada y flexible. Una cuerda gruesa o rígida se resiste a doblarse, la presión sobre el cilindro se reparte de otro modo y cambia la fricción efectiva. Para el cálculo de un capstán eso ya es una corrección de ingeniería.
¿Dónde se usa esto en la práctica?: Un cabo en un capstán o en una bita: unas cuantas vueltas y una persona sujeta el cabo de un barco. Con μ ≈ 0,3 y tres vueltas completas (φ = 6π) la relación es del orden de e^{0,3·6π} ≈ 500: un esfuerzo de 10 N sostiene unos 5 kN.

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