Por que não se pode dizer que a Terra partiu e voltou?

O viajante acelera no retorno e sente isso; os postulados da relatividade especial sobre a simetria da dilatação valem para referenciais inerciais. Neste problema a Terra permanece inercial.

A aceleração entra no tempo próprio?

O retorno toma-se instantâneo. Contam-se dois trechos de velocidade constante, em que τ = ∫ dt/γ. Com acelerações realistas o aporte do retorno é pequeno diante de um voo de cruzeiro longo.

Isto é só um experimento mental?

A dilatação do tempo está comprovada: relógios de Hafele–Keating em aviões, feixes em aceleradores, correções do GPS. Não se fez o voo completo do «gêmeo» até uma estrela, mas a fórmula do tempo próprio é a mesma.

O que é o tempo próprio?

O tempo segundo os relógios que viajam ao longo de uma linha de universo dada. É um invariante: todos os observadores concordarão no valor de τ para esse caminho. O «paradoxo» é que duas linhas de universo entre a separação e o reencontro têm «comprimento» τ diferente.

Paradoxo dos gêmeos

Linhas de universo de ida e volta: tempo próprio do viajante τ = T/γ diante do tempo terrestre T.

Sobre o modelo

Paradoxo dos gêmeos: um permanece na Terra, o outro parte com velocidade v e regressa. A simetria aparente («cada um vê o relógio do outro atrasado») se quebra porque a linha de universo do viajante não é inercial: no retorno ele acelera. No diagrama de espaço-tempo do referencial da Terra o gêmeo terrestre segue na vertical e o viajante, numa linha quebrada de ida e volta. O tempo próprio ao longo da linha de universo é τ = ∫√(1 − v²/c²) dt. Para o gêmeo em repouso isso é o tempo coordenado T; para os dois trechos inerciais do voo, τ = T/γ, γ = 1/√(1 − v²/c²). A aceleração no retorno toma-se instantânea: o aporte das fases de aceleração é pequeno diante dos trechos de cruzeiro. Ao mudar v e o tempo de espera T comparam-se τ e T.

Para quem: Curso de relatividade especial: tempo próprio, dilatação do tempo, paradoxo dos gêmeos.

Conceitos-chave

paradoxo dos gêmeos
tempo próprio
dilatação do tempo
linha de universo
fator de Lorentz
referencial inercial
diagrama de espaço-tempo

Como funciona

No diagrama de espaço-tempo o gêmeo terrestre segue na vertical e o viajante, numa linha quebrada de ida e volta. O tempo próprio nos dois trechos inerciais é τ = T/γ. O retorno é acelerado: não vale a simetria dos referenciais inerciais; volta mais jovem quem fez o retorno.

Perguntas frequentes

Por que não se pode dizer que a Terra partiu e voltou?: O viajante acelera no retorno e sente isso; os postulados da relatividade especial sobre a simetria da dilatação valem para referenciais inerciais. Neste problema a Terra permanece inercial.
A aceleração entra no tempo próprio?: O retorno toma-se instantâneo. Contam-se dois trechos de velocidade constante, em que τ = ∫ dt/γ. Com acelerações realistas o aporte do retorno é pequeno diante de um voo de cruzeiro longo.
Isto é só um experimento mental?: A dilatação do tempo está comprovada: relógios de Hafele–Keating em aviões, feixes em aceleradores, correções do GPS. Não se fez o voo completo do «gêmeo» até uma estrela, mas a fórmula do tempo próprio é a mesma.
O que é o tempo próprio?: O tempo segundo os relógios que viajam ao longo de uma linha de universo dada. É um invariante: todos os observadores concordarão no valor de τ para esse caminho. O «paradoxo» é que duas linhas de universo entre a separação e o reencontro têm «comprimento» τ diferente.

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