Por que cada iteração alonga tanto a cadeia?

A substituição troca em paralelo os símbolos por palavras mais longas, por isso o comprimento da cadeia e a densidade do desenho costumam crescer de forma exponencial com a profundidade. Iterações altas passam depressa a um traçado denso.

O que significam salvar e restaurar o estado da tartaruga?

Os símbolos de ramificação guardam a posição e a direção (salvar) e depois as devolvem (restaurar), para desenhar um ramo lateral e continuar o tronco a partir do mesmo ponto.

As iterações finitas já são o fractal de verdade?

Não: são aproximações poligonais. O limite fractal só aparece quando a profundidade tende ao infinito e o passo diminui ao mesmo tempo; a tela apenas sugere esse limite.

Sistemas-L

Reescrita de cadeias de Lindenmayer e gráficos de tartaruga: curva de Koch, triângulo de Sierpinski, curva de Hilbert, dragão de Heighway, planta.

Sobre o modelo

Os sistemas-L (sistemas de Lindenmayer) crescem uma cadeia por regras de substituição em paralelo e depois a interpretam com gráficos de tartaruga: passo à frente, giro, salvamento e restauração do estado para os ramos. As gramáticas clássicas são a curva de Koch, o triângulo de Sierpinski, a curva de Hilbert, o dragão de Heighway e a planta ramificada. Cada iteração alonga a cadeia e refina o desenho. O ângulo de giro, o comprimento do passo e a profundidade da iteração definem a geometria na tela. O modelo é determinístico e livre de contexto: sem regras aleatórias, sem crescimento no tempo e sem rumo tridimensional da tartaruga. Aumentando o número de iterações e trocando as predefinições, vê-se como regras locais geram formas fractais e botânicas.

Para quem: Matemática discreta, computação gráfica e linguagens formais: substituição de cadeias, fractais.

Conceitos-chave

sistema-L
gráficos de tartaruga
reescrita de cadeias
curva de Koch
curva de Hilbert
dragão de Heighway

Como funciona

O sistema-L reescreve em paralelo os símbolos segundo as regras da gramática. A cadeia resultante é desenhada por uma tartaruga: passo à frente, giro, salvamento e restauração da posição para os ramos. Na tela — curva de Koch, triângulo de Sierpinski, curva de Hilbert, dragão de Heighway ou planta; a profundidade da iteração alonga a cadeia e refina o desenho.

Fórmulas principais

stringₙ₊₁ = apply(rules, stringₙ)

turtle: F→step, +→turn(+δ), −→turn(−δ), [/]→push/pop

|stringₙ| = O(bⁿ) where b = max |rule|

Perguntas frequentes

Por que cada iteração alonga tanto a cadeia?: A substituição troca em paralelo os símbolos por palavras mais longas, por isso o comprimento da cadeia e a densidade do desenho costumam crescer de forma exponencial com a profundidade. Iterações altas passam depressa a um traçado denso.
O que significam salvar e restaurar o estado da tartaruga?: Os símbolos de ramificação guardam a posição e a direção (salvar) e depois as devolvem (restaurar), para desenhar um ramo lateral e continuar o tronco a partir do mesmo ponto.
As iterações finitas já são o fractal de verdade?: Não: são aproximações poligonais. O limite fractal só aparece quando a profundidade tende ao infinito e o passo diminui ao mesmo tempo; a tela apenas sugere esse limite.

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