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Início/Visualização matemática/Triangulação de Delaunay e diagrama de Voronoi

Triangulação de Delaunay e diagrama de Voronoi

Triangulação de Bowyer–Watson e diagrama de Voronoi dual: o clique acrescenta sítios, o arraste os desloca.

Exibição

Modo

20

Atalhos de teclado

  • •Clique no vazio para acrescentar um sítio
  • •Arraste um sítio amarelo para deslocá-lo

Grandezas medidas

sítios0
triângulos de Delaunay0
arestas de Delaunay0
arestas de Voronoi (interiores)0

Sobre o modelo

A triangulação de Delaunay e o diagrama de Voronoi são estruturas duais no plano. O diagrama de Voronoi atribui cada ponto do plano ao sítio mais próximo. A triangulação de Delaunay liga os sítios cujas células de Voronoi compartilham uma aresta — são os triângulos com circunferência circunscrita vazia. A triangulação é construída pelo algoritmo incremental de Bowyer–Watson; o diagrama dual de Voronoi é desenhado ao lado. O clique acrescenta um sítio, o arraste o desloca; a malha e as células atualizam na hora. A geometria é euclidiana, no plano: sem pesos, sem restrições nas arestas e sem outra métrica. Acrescentando e movendo pontos, vê-se a reconstrução pelo critério da circunferência circunscrita vazia e o deslocamento das fronteiras das células.

Para quem: Geometria computacional e geração de malhas: Delaunay, Voronoi, critério da circunferência vazia.

Conceitos-chave

  • triangulação de Delaunay
  • diagrama de Voronoi
  • algoritmo de Bowyer–Watson
  • circunferência circunscrita
  • vizinho mais próximo
  • dualidade

Como funciona

Para um conjunto de pontos no plano constrói-se a triangulação de Delaunay pelo algoritmo de Bowyer–Watson: os triângulos com circunferência circunscrita não vazia são descartados e o buraco é religado ao novo ponto. O diagrama de Voronoi é dual: os vértices são circuncentros, as arestas são mediatrizes. Na tela — os triângulos e as células de Voronoi.

Fórmulas principais

V(sᵢ) = { x : ‖x − sᵢ‖ ≤ ‖x − sⱼ‖ ∀ j }
Delaunay edge ⇔ V(sᵢ) and V(sⱼ) share an edge
empty-circle: no seed is strictly inside circumcircle of any triangle

Perguntas frequentes

Por que a circunferência circunscrita vazia importa?
Uma triangulação é de Delaunay se e somente se a circunferência circunscrita de cada triângulo não contém outros sítios. Esse critério maximiza o menor ângulo entre as triangulações do conjunto de pontos e ajuda a evitar triângulos muito alongados nas malhas.
Como Voronoi e Delaunay são duais?
Cada aresta de Delaunay corresponde a duas células vizinhas de Voronoi; os vértices de Voronoi ficam nos circuncentros dos triângulos de Delaunay. Uma estrutura determina a combinatória da outra.
O que o algoritmo de Bowyer–Watson faz ao acrescentar um ponto?
Encontra os triângulos cujas circunferências circunscritas contêm o novo sítio, remove-os e retriangula o buraco formado até o novo ponto — a propriedade de Delaunay se restabelece passo a passo.