Почему поверхность колеблется на половине частоты возбуждения?

У уравнения Матье первая (и самая широкая) область неустойчивости центрирована около ωₐ = 2 ω₀: параметрическая накачка эффективнее всего «вкачивает» энергию в моду, чья собственная частота ровно вдвое меньше частоты возбуждения. Этот субгармонический отклик и есть отличительная черта волн Фарадея.

Что определяет тип узора — полосы, квадраты или гексагоны?

Выбор узора задают слабонелинейные взаимодействия конкурирующих мод; разные затухания, глубина слоя и условия на границе мениска предпочитают разные симметрии. В нашем симуляторе мы выбираем лишь несколько фурье-мод, поэтому показанные узоры — иллюстративные «карикатуры», а не точные предсказания.

Как это связано с раскачкой качелей?

Раскачка качелей приседаниями вдвое чаще их собственной частоты — тот же параметрический резонанс: гармонический осциллятор раскачивается за счёт периодической модуляции одного из своих параметров (здесь — эффективной длины подвеса).

Волны Фарадея

Параметрическая накачка тонкого слоя жидкости: уравнение Матьё, субгармоническая мода — полосы, квадраты или гексагоны.

Узор

Набор мод (число направлений стоячих волн)

Вертикальное возбуждение

Частота возбуждения ω_d8 rad/s

Амплитуда возбуждения ε1.5

Затухание γ0.18

Каждая мода поверхности подчиняется уравнению Матье ä + 2γ ȧ + ω₀²(1 + ε cos ω_d t) a = 0, где собственная частота моды ω₀ = ω_d/2. Когда параметрическая накачка ε превышает порог, заданный γ, амплитуда экспоненциально нарастает на половине частоты возбуждения — это и есть субгармонический отклик Фарадея.

Измеренные величины

ω_d8.0rad/s

ω₀ = ω_d/24.00rad/s

ε1.50

γ0.18

О модели

Тонкий слой жидкости на вертикально вибрирующей пластинке порождает стоячие поверхностные волны, колеблющиеся ровно на половине частоты возбуждения, — это волны Фарадея. Каждую фурье-моду поверхности можно описать затухшим уравнением Матье: ä + 2γ ȧ + ω₀²(1 + ε cos ωₐ t) a = 0. Когда параметрическая накачка ε превышает порог, заданный диссипацией, субгармонический отклик a ∼ exp(σ t) cos(ωₐ t/2) экспоненциально нарастает и насыщается — в зависимости от геометрии и затухания возникают полосы, квадраты или гексагональные узоры. В симуляторе мы интегрируем небольшой набор уравнений Матье и складываем их косинусы, чтобы рисовать поверхность в реальном времени.

Для кого: Введение в нелинейную динамику, параметрический резонанс и физику паттернообразования; хорошо дополняет симулятор уравнения Матье/Хилла.

Ключевые понятия

волны Фарадея
параметрическая неустойчивость
уравнение Матье
субгармонический отклик
паттернообразование
стоячая волна

Как это работает

Тонкий слой жидкости на вертикально вибрирующей пластинке развивает стоячие волны на половине частоты возбуждения. Каждая мода поверхности подчиняется уравнению Матье ä + 2γ ȧ + ω₀²(1 + ε cos ω_d t) a = 0. При параметрической накачке ε выше зависящего от затухания γ порога субгармонический отклик a ∼ exp(σt) cos(ω_d t/2) экспоненциально нарастает и насыщается в полосы, квадраты или гексагоны в зависимости от выбранного набора мод и геометрии. Симулятор интегрирует небольшой банк уравнений Матье и складывает их косинусы, чтобы рисовать поверхность в реальном времени.

Основные формулы

A¨ + 2γ A˙ + ω₀² (1 + ε cos ω_d t) A = 0

субгармонический отклик: ω_отклик ≈ ω_d / 2

Часто задаваемые вопросы

Почему поверхность колеблется на половине частоты возбуждения?: У уравнения Матье первая (и самая широкая) область неустойчивости центрирована около ωₐ = 2 ω₀: параметрическая накачка эффективнее всего «вкачивает» энергию в моду, чья собственная частота ровно вдвое меньше частоты возбуждения. Этот субгармонический отклик и есть отличительная черта волн Фарадея.
Что определяет тип узора — полосы, квадраты или гексагоны?: Выбор узора задают слабонелинейные взаимодействия конкурирующих мод; разные затухания, глубина слоя и условия на границе мениска предпочитают разные симметрии. В нашем симуляторе мы выбираем лишь несколько фурье-мод, поэтому показанные узоры — иллюстративные «карикатуры», а не точные предсказания.
Как это связано с раскачкой качелей?: Раскачка качелей приседаниями вдвое чаще их собственной частоты — тот же параметрический резонанс: гармонический осциллятор раскачивается за счёт периодической модуляции одного из своих параметров (здесь — эффективной длины подвеса).

Другие симуляторы в этой категории — или все 85.

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Линии тока вокруг крыла (Жуковский)

Запустить симулятор

Потенциальное обтекание профиля Жуковского: полосы линий тока, циркуляция фиксируется условием Жуковского–Кутта.

ПопулярноеШкольные

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Запустить симулятор

Запускайте снаряды с регулируемым углом, скоростью и гравитацией. Отслеживайте параболические траектории с помощью графиков в реальном времени.

НовоеШкольные

Требушет

Запустить симулятор

Рычаг с противовесом: крутящий момент запускает снаряд под выбранным углом освобождения. Исследуйте зависимость дальности от масс и длин плеч.

НовоеШкольные

Цепь соскальзывает со стола

Запустить симулятор

Однородная цепь на гладком краю: свисающая часть тянет, трение о поверхность стола сопротивляется. Наблюдайте, когда начинается проскальзывание и как ускорение растёт с увеличением s.

НовоеШкольные

Блоки и трение в стопке

Запустить симулятор

Потяните нижний блок в вертикальной стопке: связи в виде пружин с ограничением трения показывают, какой блок проскальзывает — сравните с оценками для абсолютно жёсткой стопки.

НовоеУниверситет / научные

Устойчивость велосипеда (2D)

Запустить симулятор

Вид сбоку: динамика крена с учётом выноса вилки и гироскопических моментов колёс — наблюдайте зависимость от скорости, выноса и соотношения ω = v/R с углом наклона.

Волны Фарадея

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Ещё из «Классическая механика»

Линии тока вокруг крыла (Жуковский)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Требушет

Цепь соскальзывает со стола

Блоки и трение в стопке

Устойчивость велосипеда (2D)

Волны Фарадея

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы