Em que o intervalo de credibilidade difere do intervalo de confiança?

O intervalo de credibilidade é um enunciado probabilístico sobre o parâmetro depois de juntar a priori e os dados. O intervalo de confiança frequentista tem interpretação de cobertura numa série longa de amostras repetidas, não uma probabilidade para o intervalo já obtido.

Para que servem as distribuições a priori conjugadas?

Elas deixam a a posteriori na mesma família, de modo que a atualização é um deslocamento de parâmetros: rápida, transparente e cômoda de graficar.

O que é a probabilidade preditiva a posteriori?

É a probabilidade de uma observação nova após média sobre a a posteriori do parâmetro, e não com uma estimativa pontual fixa. No modelo beta-binomial vale (α + k)/(α + β + n).

Atualização bayesiana

Atualização beta-binomial: curvas das distribuições a priori e a posteriori, probabilidade preditiva a posteriori e intervalos de credibilidade.

As a priori conjugadas deixam a posteriori na mesma família: a atualização bayesiana vira soma de parâmetros.

Gráficos

Sobre o modelo

A atualização bayesiana recalcula a distribuição do parâmetro depois da observação. Se a distribuição a priori é conjugada à verossimilhança, a a posteriori permanece na mesma família. No modelo beta-binomial, k sucessos em n ensaios transformam Beta(α, β) em Beta(α + k, β + n − k). No gráfico: as curvas a priori e a posteriori, a média a posteriori, a probabilidade preditiva do próximo sucesso e o intervalo de credibilidade de 95%. A conjugação torna o recálculo um deslocamento de parâmetros e é conveniente para o desenho.

Para quem: Estatística matemática: inferência bayesiana, famílias conjugadas.

Conceitos-chave

atualização bayesiana
distribuição a priori conjugada
modelo beta-binomial
distribuição a posteriori
intervalo de credibilidade
probabilidade preditiva a posteriori

Como funciona

No modelo beta-binomial a distribuição a priori Beta(α,β) atualiza-se somando as observações: após k sucessos em n ensaios a a posteriori é Beta(α+k, β+n−k). A média a posteriori e a probabilidade preditiva a posteriori valem (α+k)/(α+β+n); o intervalo de credibilidade sai da distribuição a posteriori.

Fórmulas principais

Beta(α,β) + k sucessos em n ensaios → Beta(α+k, β+n−k)

Preditiva a posteriori P(sucesso seguinte) = (α+k)/(α+β+n)

Perguntas frequentes

Em que o intervalo de credibilidade difere do intervalo de confiança?: O intervalo de credibilidade é um enunciado probabilístico sobre o parâmetro depois de juntar a priori e os dados. O intervalo de confiança frequentista tem interpretação de cobertura numa série longa de amostras repetidas, não uma probabilidade para o intervalo já obtido.
Para que servem as distribuições a priori conjugadas?: Elas deixam a a posteriori na mesma família, de modo que a atualização é um deslocamento de parâmetros: rápida, transparente e cômoda de graficar.
O que é a probabilidade preditiva a posteriori?: É a probabilidade de uma observação nova após média sobre a a posteriori do parâmetro, e não com uma estimativa pontual fixa. No modelo beta-binomial vale (α + k)/(α + β + n).

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