Pourquoi le film est-il lisse et en forme de selle ?

La tension superficielle est proportionnelle à l’aire : le système va vers une énergie plus basse. Une surface de courbure moyenne nulle (selle) donne un minimum local d’aire pour un cadre fixé.

Quelle loi se cache derrière la moyenne des voisins ?

L’équation de Laplace discrète ∇²z = 0 : la hauteur d’un point égale la moyenne de ses quatre voisins. C’est la condition de courbure moyenne nulle. Chaque étape de relaxation diminue l’aire et mène à l’équilibre.

Un vrai film peut-il avoir cette forme dans l’espace ?

Oui, si le cadre est rigide et le film unique et stable — le problème classique de Plateau. Le modèle donne l’équilibre d’un seul film continu, sans mousse ni arêtes triples.

D’où viennent les couleurs irisées ?

Dans l’expérience — interférences dans un film mince : les ondes des deux faces s’ajoutent selon l’épaisseur. Ici la couleur est conventionnelle, souvent selon la hauteur ou la courbure, pas un calcul de franges.

Film de savon (surface minimale)

Film sur un cadre non plan : relaxation discrète de Laplace sur la hauteur z. L’arc-en-ciel est un coloriage conventionnel, pas un calcul d’interférences.

À propos du modèle

Un film de savon sur un cadre de fil prend la forme d’une surface minimale : l’aire (et l’énergie de tension superficielle) est la plus petite pour le bord donné. Pour de petites pentes, la hauteur z(x, y) vérifie l’équation de Laplace ∇²z = 0 — courbure moyenne nulle (problème de Plateau). Le maillage relaxe selon Jacobi : chaque point intérieur est remplacé par la moyenne de ses quatre voisins, jusqu’à ce que la surface s’adoucisse. Le cadre est schématique : fond plat, côtés à z = 0 et haut sinusoïdal — le bord n’est pas dans un même plan. Le coloriage irisé ne calcule pas les interférences dans un film mince : il marque seulement la forme. La pesanteur, l’écoulement et une tension variable ne sont pas pris en compte.

Public : Équations aux dérivées partielles et mécanique des milieux continus de licence : surfaces minimales, équation de Laplace.

Notions clés

surface minimale
équation de Laplace
problème de Plateau
méthode de relaxation
fonction harmonique
tension superficielle

Comment ça marche

Un film mince minimise l’aire ; pour de petites pentes, la hauteur z(x, y) obéit à ∇²z = 0 avec des conditions de Dirichlet sur le fil — la même équation de Laplace que la relaxation de Jacobi sur un maillage carré. Cadre : fond plat, côtés à z = 0 et haut sinusoïdal. À l’intérieur, le maillage s’adoucit en une surface harmonique — modèle pédagogique du problème de Plateau.

Formules

Laplace discret : z_ij ← moyenne des quatre voisins en croix (Jacobi)

Questions fréquentes

Pourquoi le film est-il lisse et en forme de selle ?: La tension superficielle est proportionnelle à l’aire : le système va vers une énergie plus basse. Une surface de courbure moyenne nulle (selle) donne un minimum local d’aire pour un cadre fixé.
Quelle loi se cache derrière la moyenne des voisins ?: L’équation de Laplace discrète ∇²z = 0 : la hauteur d’un point égale la moyenne de ses quatre voisins. C’est la condition de courbure moyenne nulle. Chaque étape de relaxation diminue l’aire et mène à l’équilibre.
Un vrai film peut-il avoir cette forme dans l’espace ?: Oui, si le cadre est rigide et le film unique et stable — le problème classique de Plateau. Le modèle donne l’équilibre d’un seul film continu, sans mousse ni arêtes triples.
D’où viennent les couleurs irisées ?: Dans l’expérience — interférences dans un film mince : les ondes des deux faces s’ajoutent selon l’épaisseur. Ici la couleur est conventionnelle, souvent selon la hauteur ou la courbure, pas un calcul de franges.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 50 de «Optique et lumière».

Toute la catégorie →

NouveauCollège–lycée

Interférences dans les lames minces

Lancer la simulation

Franges d’un coin : indice, épaisseur et angle ; couleurs selon cos²(δ/2) et spectre I(λ) à l’épaisseur moyenne.

NouveauCollège–lycée

Anneaux de Newton

Lancer la simulation

Lentille sphérique sur un verre plan : interférences dans une lame d’air ; saut de phase π à la réflexion.

NouveauCollège–lycée

Traitement antireflet

Lancer la simulation

Air–couche–verre en incidence normale : R(λ) des deux interfaces ; épaisseur quart d’onde.

NouveauCollège–lycée

Formule de conjugaison

Lancer la simulation

Forme de Gauss 1/f = 1/d_o + 1/d_i ; hyperbole d_i(d_o), pôle en d_o = f, schéma et contrôle des 1/d.

Collège–lycée

Diffraction de la lumière

Lancer la simulation

Une et deux fentes : diffraction de Fraunhofer et figure d’interférences.

NouveauCollège–lycée

Aberration chromatique

Lancer la simulation

Formule de Cauchy n(λ) ; foyer d’une lentille mince f(λ) ; rayons paraxiaux R/G/B.

Film de savon (surface minimale)

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Interférences dans les lames minces

Anneaux de Newton

Traitement antireflet

Formule de conjugaison

Diffraction de la lumière

Aberration chromatique

Film de savon (surface minimale)

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes