¿Por qué el gradiente conjugado exige una matriz simétrica definida positiva?

Si A es SDP, la función cuadrática es estrictamente convexa y queda definido el producto interno A con el que se construyen las direcciones conjugadas. Sin esas propiedades no valen las garantías clásicas del método.

¿Por qué el sistema bidimensional se resuelve en dos pasos?

En aritmética exacta el método minimiza sobre un subespacio de Krylov que crece y termina en a lo sumo n iteraciones para un sistema SDP de dimensión n. En la demo bidimensional la solución se alcanza con a lo sumo dos direcciones independientes.

¿En qué supera el gradiente conjugado al descenso más pronunciado?

El descenso más pronunciado sigue −∇f y en elipses alargadas zigzaguea. Las direcciones conjugadas no repiten las direcciones A ya elegidas, así que en un cuenco mal condicionado la convergencia es notablemente más rápida.

Gradiente conjugado

Sistema SDP Ax=b como minimización de una forma cuadrática: curvas de nivel, gradiente conjugado frente al descenso más pronunciado, norma del residual y número de condición.

En aritmética exacta el gradiente conjugado alcanza la solución 2D en a lo sumo dos iteraciones. Las iteraciones extra aquí muestran sobre todo el residual a escala de redondeo y cómo la trayectoria se aparta del descenso más pronunciado.

Gráficas

Sobre el modelo

El sistema Ax = b con matriz simétrica definida positiva equivale a minimizar f(x) = ½ xᵀ A x − bᵀ x. En el ejemplo bidimensional las curvas de nivel son elipses, la solución exacta es su centro y el residual es b − Ax. El método del gradiente conjugado elige direcciones de búsqueda A-conjugadas. Para comparar, desde el mismo punto se muestra el descenso más pronunciado: en elipses alargadas zigzaguea. El número de condición κ = λ_max/λ_min fija el alargamiento del cuenco. En aritmética exacta el gradiente conjugado termina en a lo sumo n pasos para un sistema SDP de dimensión n.

Para quién: Álgebra lineal numérica, computación científica, optimización y resolutores de ecuaciones diferenciales parciales.

Conceptos clave

gradiente conjugado
matriz simétrica definida positiva
norma del residual
minimización cuadrática
número de condición
descenso más pronunciado

Cómo funciona

Para una matriz simétrica definida positiva, el sistema Ax=b equivale a minimizar f(x)=1/2 x^T A x − b^T x. Las curvas de nivel de esta función son elipses, y la solución x\* está en su centro. El método del gradiente conjugado construye direcciones p_k conjugadas en el producto interno (·,·)_A y elige el paso α_k=(r_k^T r_k)/(p_k^T A p_k). En el caso bidimensional, con aritmética exacta bastan dos iteraciones; un κ grande alarga las elipses y retrasa métodos emparentados, por ejemplo el descenso más pronunciado.

Fórmulas principales

El gradiente conjugado resuelve Ax=b al minimizar f(x)=1/2 x^T A x − b^T x para A SDP

α_k=(r_k^T r_k)/(p_k^T A p_k), β_k=(r_{k+1}^T r_{k+1})/(r_k^T r_k)

Preguntas frecuentes

¿Por qué el gradiente conjugado exige una matriz simétrica definida positiva?: Si A es SDP, la función cuadrática es estrictamente convexa y queda definido el producto interno A con el que se construyen las direcciones conjugadas. Sin esas propiedades no valen las garantías clásicas del método.
¿Por qué el sistema bidimensional se resuelve en dos pasos?: En aritmética exacta el método minimiza sobre un subespacio de Krylov que crece y termina en a lo sumo n iteraciones para un sistema SDP de dimensión n. En la demo bidimensional la solución se alcanza con a lo sumo dos direcciones independientes.
¿En qué supera el gradiente conjugado al descenso más pronunciado?: El descenso más pronunciado sigue −∇f y en elipses alargadas zigzaguea. Las direcciones conjugadas no repiten las direcciones A ya elegidas, así que en un cuenco mal condicionado la convergencia es notablemente más rápida.

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