¿Qué fija el núcleo?

La correlación de los valores de la función en dos puntos de entrada. Una escala de longitud pequeña deja que la curva cambie de golpe entre observaciones cercanas; una grande impone tendencias suaves y anchas. Los núcleos de Matérn son menos suaves que el RBF.

¿Por qué la incertidumbre baja cerca de las observaciones?

La normal condicional dadas las observaciones reduce más la varianza a posteriori junto a esos puntos. Un ruido de observación no nulo impide que la incertidumbre se colapse del todo y que la media pase exactamente por cada punto.

¿Elegir la varianza máxima es siempre óptimo?

No. Es una estrategia simple de exploración: ir a donde el modelo está menos seguro. En la optimización bayesiana la incertidumbre suele mezclarse con la mejora esperada, el costo de medir y las restricciones del problema.

Proceso gaussiano: regresión

Regresión con proceso gaussiano y núcleos RBF y de Matérn: longitud de correlación y ruido, observaciones con un clic, media a posteriori, banda de incertidumbre y selección del punto de mayor varianza.

Sobre el modelo

En la regresión con proceso gaussiano la función desconocida es aleatoria: cualesquiera de sus valores tienen una distribución normal conjunta dada por el núcleo. Los puntos se agregan con un clic; el a posteriori se recalcula a partir de K(X,X)+σ_n²I mediante la factorización de Cholesky. La curva azul es la media a posteriori μ(x), la banda semitransparente es, más o menos, la incertidumbre del 95 % μ(x)±2σ(x), y los puntos amarillos son las observaciones. El núcleo RBF impone un a priori muy suave; Matérn 3/2 y 5/2 admiten funciones más rugosas. El botón de muestreo activo coloca, de forma voraz, el punto de mayor σ a posteriori: es elegir el experimento según la incertidumbre.

Para quién: Estadística y aprendizaje automático: núcleos, incertidumbre a posteriori, muestreo activo de puntos.

Conceptos clave

proceso gaussiano
regresión
núcleo
núcleo RBF
núcleo de Matérn
media a posteriori
banda de incertidumbre
factorización de Cholesky

Cómo funciona

La regresión con proceso gaussiano fija una distribución a priori sobre funciones mediante un núcleo. Las observaciones dan la media a posteriori μ(x) y la incertidumbre σ(x) a partir de K(X,X)+σ_n²I; el RBF es suave y Matérn admite funciones más abruptas. El muestreo activo elige el punto de mayor varianza a posteriori.

Fórmulas principales

K_y = K(X,X)+σ_n²I, posterior μ(x*) = k_*ᵀK_y⁻¹y, σ²(x*) = k(x*,x*) − k_*ᵀK_y⁻¹k_*. Active rule: argmax σ(x).

Preguntas frecuentes

¿Qué fija el núcleo?: La correlación de los valores de la función en dos puntos de entrada. Una escala de longitud pequeña deja que la curva cambie de golpe entre observaciones cercanas; una grande impone tendencias suaves y anchas. Los núcleos de Matérn son menos suaves que el RBF.
¿Por qué la incertidumbre baja cerca de las observaciones?: La normal condicional dadas las observaciones reduce más la varianza a posteriori junto a esos puntos. Un ruido de observación no nulo impide que la incertidumbre se colapse del todo y que la media pase exactamente por cada punto.
¿Elegir la varianza máxima es siempre óptimo?: No. Es una estrategia simple de exploración: ir a donde el modelo está menos seguro. En la optimización bayesiana la incertidumbre suele mezclarse con la mejora esperada, el costo de medir y las restricciones del problema.

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