¿Por qué los puntos al azar dan precisamente π?

La probabilidad de caer en el círculo es la razón de áreas: π/4. Contar aciertos mide esa probabilidad. El problema geométrico de un área se vuelve un conteo estadístico.

¿Por qué a veces la estimación empeora cuando hay más puntos?

La convergencia es estadística, no monótona. Un paquete corto, por fluctuaciones, puede alejar la estimación de π. La ley de los grandes números habla de la tendencia a N grande, no de cada paso.

¿Así se calcula π en la práctica?

No: para muchas cifras hay series deterministas rápidas. El método de Monte Carlo aquí es de aula. La misma idea sirve para integrales multidimensionales difíciles, donde las mallas ya no alcanzan.

¿Qué significa «puntos uniformes»?

Cada punto del cuadrado es equiprobable, sin sesgo hacia el centro o el borde. Si no, la razón de aciertos ya no es la razón de áreas. En la computadora es un generador seudoaleatorio.

Estimación de π por Monte Carlo

Puntos aleatorios uniformes en un cuadrado; estimación π ≈ 4·(puntos en el círculo)/N.

Sobre el modelo

Estimación de π por el método de Monte Carlo: en el cuadrado [−1, 1]² se lanzan puntos uniformes y se cuenta la fracción que cae en el círculo unitario x² + y² ≤ 1. La razón de áreas vale π/4, de modo que π ≈ 4M/N, donde M es el número de aciertos y N el de ensayos. Los puntos son independientes y el generador se toma uniforme. Por la ley de los grandes números la estimación converge a π al crecer N, pero el camino es ruidoso: un paquete corto de puntos puede empeorar la estimación un rato. Para muchas cifras de π hay series mucho más rápidas; aquí importa el sentido geométrico de la probabilidad.

Para quién: Probabilidad y métodos numéricos: probabilidad geométrica, método de Monte Carlo.

Conceptos clave

método de Monte Carlo
probabilidad geométrica
distribución uniforme
ley de los grandes números
estimación de π
razón de áreas

Cómo funciona

Los puntos uniformes en el cuadrado [−1, 1]² caen en el círculo unitario con probabilidad π/4. La estimación es π ≈ 4·(aciertos)/N. En pantalla, puntos dentro y fuera del círculo; al crecer N la estimación se acerca a π y la dispersión baja más o menos como 1/√N.

Preguntas frecuentes

¿Por qué los puntos al azar dan precisamente π?: La probabilidad de caer en el círculo es la razón de áreas: π/4. Contar aciertos mide esa probabilidad. El problema geométrico de un área se vuelve un conteo estadístico.
¿Por qué a veces la estimación empeora cuando hay más puntos?: La convergencia es estadística, no monótona. Un paquete corto, por fluctuaciones, puede alejar la estimación de π. La ley de los grandes números habla de la tendencia a N grande, no de cada paso.
¿Así se calcula π en la práctica?: No: para muchas cifras hay series deterministas rápidas. El método de Monte Carlo aquí es de aula. La misma idea sirve para integrales multidimensionales difíciles, donde las mallas ya no alcanzan.
¿Qué significa «puntos uniformes»?: Cada punto del cuadrado es equiprobable, sin sesgo hacia el centro o el borde. Si no, la razón de aciertos ya no es la razón de áreas. En la computadora es un generador seudoaleatorio.

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