¿Por qué las componentes principales son perpendiculares?

La matriz de covarianza es simétrica, así que los autovectores de autovalores distintos son ortogonales. El análisis de componentes principales toma esos vectores como nuevos ejes.

¿Qué significa el error de reconstrucción?

Si solo se deja la primera componente, se pierde la dispersión a lo largo de la segunda que se descarta. La dispersión que queda en el segundo eje es la imagen geométrica del error de reconstrucción de rango 1.

Geometría de PCA / SVD

Elipse de covarianza y reducción de dimensión vía la descomposición en valores singulares: componentes principales, varianza explicada y error de reconstrucción de rango 1.

Los puntos amarillos muestran la reconstrucción de rango 1: la proyección de los datos sobre la primera componente principal.

Gráficas

Sobre el modelo

El análisis de componentes principales rota la nube de datos hacia direcciones ortogonales de máxima varianza. En el plano se ven la elipse de covarianza, los ejes de las componentes principales, las fracciones de varianza explicada y la reconstrucción de rango 1: la proyección de los puntos sobre la primera componente principal. Para una matriz de datos centrada, la descomposición en valores singulares X = UΣVᵀ da las direcciones principales en las columnas de V, y los cuadrados de los números singulares son los aportes a la varianza. La segunda componente que se descarta es, en geometría, el error de reconstrucción.

Para quién: Álgebra lineal y análisis de datos: descomposición en valores singulares, covarianza, reducción de dimensión.

Conceptos clave

análisis de componentes principales
descomposición en valores singulares
matriz de covarianza
varianza explicada
reconstrucción de rango 1
componente principal

Cómo funciona

PCA busca ejes ortogonales a lo largo de los cuales la varianza es máxima. Para una matriz de datos centrada X=UΣV^T, los vectores de V dan las componentes principales, y σ_i²/Σσ_j² es la fracción de varianza explicada. Si solo se deja PC1, cada punto se proyecta sobre una recta: es la reconstrucción de rango 1, y la dispersión perdida a lo largo de PC2 se vuelve error de reconstrucción.

Fórmulas principales

X = UΣVᵀ; los autovectores de la covarianza dan los ejes principales

Razón de varianza explicada = σ_i² / Σ σ_j²

Preguntas frecuentes

¿Por qué las componentes principales son perpendiculares?: La matriz de covarianza es simétrica, así que los autovectores de autovalores distintos son ortogonales. El análisis de componentes principales toma esos vectores como nuevos ejes.
¿Qué significa el error de reconstrucción?: Si solo se deja la primera componente, se pierde la dispersión a lo largo de la segunda que se descarta. La dispersión que queda en el segundo eje es la imagen geométrica del error de reconstrucción de rango 1.
¿Cómo se relaciona el análisis de componentes principales con la descomposición en valores singulares?: Para una matriz de datos centrada X, la descomposición X = UΣVᵀ da las direcciones principales en las columnas de V, y los cuadrados de los números singulares son los aportes a la varianza. La geometría en el plano es esa misma imagen para dos coordenadas.

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