Warum liegt das Zugkraftmaximum auf der geostationären Bahn und nicht am Anker?

Unterhalb der geostationären Bahn zieht die Erde das Seil stärker als die Rotation es nach außen drückt, daher wächst die Zugkraft mit der Höhe. Oberhalb überwiegt die Zentrifugalkraft und zieht das Seil nach außen, sodass der Querschnitt entlastet wird. Im Punkt, wo ω²r = GM/r², ist die Kraftdifferenz am größten — dort liegt das Maximum von T.

Heißt das Modell, das Seil könne beliebig dünn sein?

Nein. Berechnet wird die Zugkraft pro Querschnitt (Spannung). Das Maximum setzt die nötige Festigkeit. Ein wirkliches Seil würde man bei der geostationären Bahn verdicken und zu den Enden verjüngen. Hier ist der Querschnitt konstant, damit das Profil T(h) sichtbar bleibt.

Wie geht die Erdrotation in die Zugkraft ein?

Sie liefert die Zentrifugalkraft gegen die Gravitation. Ohne Rotation müsste das ganze hängende Seil von unten nach oben durch Zugkraft gehalten werden. Mit Rotation fällt das effektive Gewicht der oberen Abschnitte, und es entsteht das charakteristische Maximum auf der geostationären Bahn.

Welche realen Aufgaben fehlen im eindimensionalen Modell?

Wind und Coriolis am fahrenden Aufzug, Seilschwingungen, Kollisionen mit Schrott, Erosion durch atomaren Sauerstoff und ein Werkstoff mit dem nötigen Verhältnis von Festigkeit zu Dichte. Hier nur das Kräftegleichgewicht längs des Radius.

Weltraumlift

Zugkraftprofil über der Höhe; Maximum nahe der geostationären Bahn (normiertes Modell).

Diagramme

Zum Modell

Der Weltraumlift: ein Seil von der Erdoberfläche über die geostationäre Bahn hinaus. Die Zugkraft im Querschnitt trägt das Gewicht des unteren Teils und liefert die Zentripetalbeschleunigung des oberen. Für ein Element dm ist der Beitrag zu dT/dr proportional zu (ω² r − GM/r²), wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ist. Bei konstantem Querschnitt wächst T(r) vom Anker zum Maximum auf der geostationären Bahn (etwa 36 000 km über der Oberfläche) und fällt zum Gegengewicht. Unterhalb der geostationären Bahn überwiegt die Gravitation die Zentrifugalkraft, oberhalb umgekehrt. Abstände sind auf den Erdradius normiert, die Zugkraft auf das Maximum. Konizität des Seils, Atmosphäre, Mond und Querlasten bleiben unberücksichtigt.

Für wen: Studium: Himmelsmechanik und Festigkeitslehre; Kreisbahn und geostationäre Bahn.

Wichtige Begriffe

zugkraft
geostationäre bahn
zentripetalkraft
gravitationsparameter
effektive schwerkraft
zentrifugalkraft
seil konstanten querschnitts

So funktioniert es

Im mit der Erde mitrotierenden System spürt ein vertikales Seil eine abnehmende Gravitation und eine mit dem Radius wachsende Zentrifugalkraft. Unterhalb der geostationären Höhe überwiegt die Gravitation, oberhalb die Zentrifugalkraft. Die Integration der Linienlast liefert eine Zugkraft mit Maximum nahe der geostationären Bahn. Am Bildschirm: Schema des Seils und normierter Graph T(h). Konischer Querschnitt, Werkstoffgrenzen und Querkräfte sind weggelassen.

Wichtige Gleichungen

dT/dr ∝ λ (ω² r − GM/r²) (nach außen r, Schema)

Häufige Fragen

Warum liegt das Zugkraftmaximum auf der geostationären Bahn und nicht am Anker?: Unterhalb der geostationären Bahn zieht die Erde das Seil stärker als die Rotation es nach außen drückt, daher wächst die Zugkraft mit der Höhe. Oberhalb überwiegt die Zentrifugalkraft und zieht das Seil nach außen, sodass der Querschnitt entlastet wird. Im Punkt, wo ω²r = GM/r², ist die Kraftdifferenz am größten — dort liegt das Maximum von T.
Heißt das Modell, das Seil könne beliebig dünn sein?: Nein. Berechnet wird die Zugkraft pro Querschnitt (Spannung). Das Maximum setzt die nötige Festigkeit. Ein wirkliches Seil würde man bei der geostationären Bahn verdicken und zu den Enden verjüngen. Hier ist der Querschnitt konstant, damit das Profil T(h) sichtbar bleibt.
Wie geht die Erdrotation in die Zugkraft ein?: Sie liefert die Zentrifugalkraft gegen die Gravitation. Ohne Rotation müsste das ganze hängende Seil von unten nach oben durch Zugkraft gehalten werden. Mit Rotation fällt das effektive Gewicht der oberen Abschnitte, und es entsteht das charakteristische Maximum auf der geostationären Bahn.
Welche realen Aufgaben fehlen im eindimensionalen Modell?: Wind und Coriolis am fahrenden Aufzug, Seilschwingungen, Kollisionen mit Schrott, Erosion durch atomaren Sauerstoff und ein Werkstoff mit dem nötigen Verhältnis von Festigkeit zu Dichte. Hier nur das Kräftegleichgewicht längs des Radius.

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