Was ist ein Jahrhunderthochwasser?

Der Abfluss mit jährlicher Überschreitungswahrscheinlichkeit 1/100 — nicht ein Ereignis, das genau einmal im Jahrhundert eintritt. In jedem Jahr bleibt die Chance 1 %.

Das ist der klassische Grenzfall vom Typ I für Maxima und das übliche erste Modell der Hochwasserstatistik — vor der verallgemeinerten Extremwertverteilung oder der Pearson-III-Kurve.

Wozu die Schätzung nach der Momentenmethode?

Aus der Stichprobe der Jahresmaxima schätzt man μ und β: β̂ = σ√6/π, μ̂ = x̄ − γβ̂. Vergleichen Sie das wahre Quantil x_T mit der Schätzung aus einer endlichen Stichprobe: bei kleinem n ist die Streuung groß.

Hochwasserhäufigkeit (Gumbel)

Jahresmaxima nach der Gumbel-Verteilung: Wiederkehrzeit T, Überschreitungswahrscheinlichkeit, Bemessungshochwasser x_T und Schätzung nach der Momentenmethode.

Zum Modell

Die Hochwasserhäufigkeit: Jahresmaxima der Abflüsse beschreibt man mit einem Extremwertgesetz. Die Gumbel-Verteilung (Typ I): F(x) = exp(−exp(−(x−μ)/β)). Ein Hochwasser der Wiederkehrzeit T hat die Überschreitungswahrscheinlichkeit 1/T und das Quantil x_T = μ − β ln(−ln(1−1/T)). Auf dem Bildschirm die Dichte mit einer Stichprobe der Jahresmaxima, die Abflusskurve über T und die Schätzung nach der Momentenmethode. Das ist das erste Modell vor der verallgemeinerten Extremwertverteilung oder der Pearson-III-Kurve.

Für wen: Hydrologie und Wasserwirtschaft: Extremwertstatistik, Bemessungshochwasser.

Wichtige Begriffe

gumbel-verteilung
wiederkehrzeit
überschreitungswahrscheinlichkeit
jahresmaxima
bemessungshochwasser
momentenmethode

So funktioniert es

Jahresmaxima der Abflüsse beschreibt man oft mit der Gumbel-Verteilung: F(x)=exp(−exp(−(x−μ)/β)). Wiederkehrzeit T=1/(1−F); Bemessungshochwasser x_T=μ−β ln(−ln(1−1/T)). Schätzung nach der Momentenmethode: β̂=σ√6/π, μ̂=x̄−γβ̂.

Wichtige Gleichungen

F(x) = exp(−exp(−(x−μ)/β))

T = 1/(1−F) · x_T = μ − β ln(−ln(1−1/T))

MOM: β̂ = σ√6/π , μ̂ = x̄ − γ β̂

Häufige Fragen

Was ist ein Jahrhunderthochwasser?: Der Abfluss mit jährlicher Überschreitungswahrscheinlichkeit 1/100 — nicht ein Ereignis, das genau einmal im Jahrhundert eintritt. In jedem Jahr bleibt die Chance 1 %.
Warum gerade Gumbel?: Das ist der klassische Grenzfall vom Typ I für Maxima und das übliche erste Modell der Hochwasserstatistik — vor der verallgemeinerten Extremwertverteilung oder der Pearson-III-Kurve.
Wozu die Schätzung nach der Momentenmethode?: Aus der Stichprobe der Jahresmaxima schätzt man μ und β: β̂ = σ√6/π, μ̂ = x̄ − γβ̂. Vergleichen Sie das wahre Quantil x_T mit der Schätzung aus einer endlichen Stichprobe: bei kleinem n ist die Streuung groß.

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