Was zeigt die Leslie-Matrix?

Wie sich der Vektor der Anzahlen nach Alter von Schritt zu Schritt ändert. Die erste Zeile ist der Beitrag jeder Gruppe zu den Neugeborenen, die Nebendiagonale sagt, wer in die nächste Klasse überlebt.

Warum stabilisieren sich die Altersanteile?

Sobald ein Eigenwert dominiert, richtet wiederholtes Multiplizieren den Populationsvektor nach dem zugehörigen Eigenvektor aus — das ist die stabile Altersverteilung.

Leslie-Matrix: Altersstruktur

Q: Was bedeutet λ?

λ ist der asymptotische Faktor pro Schritt: n(t) ∼ λ^t. Bei λ > 1 wächst die Population, bei λ < 1 schrumpft sie, bei λ = 1 bleibt die Anzahl im Grenzwert konstant.

Modell von Fertilität und Überleben: Verlauf der Populationsgröße, dominanter Eigenwert λ und stabile Altersverteilung.

Das angezeigte λ wird aus späten Verhältnissen der Gesamtpopulation geschätzt. Nach dem Einschwingen nähern sich die Altersanteile dem dominanten Eigenvektor.

Diagramme

Zum Modell

Die Leslie-Matrix beschreibt die Altersstruktur einer Population: Geburt und Sterblichkeit hängen vom Alter ab, daher lässt sich das Wachstum nicht auf eine einzige Gesamtzahl reduzieren. Die Matrix überführt den Vektor der Anzahlen nach Altersklassen: die Fertilitäten stehen in der ersten Zeile, die Überlebenswahrscheinlichkeiten auf der Nebendiagonale, n_{t+1} = L n_t. Der langfristige Faktor pro Schritt ist der dominante Eigenwert λ, die stabilen Altersanteile sind der zugehörige Eigenvektor. Bei λ > 1 wächst die Population, bei λ < 1 schrumpft sie, bei λ = 1 bleibt die Anzahl im Grenzwert konstant. Nach dem Einschwingen stabilisiert sich die Alterspyramide. Drei Klassen, keine Dichteabhängigkeit.

Für wen: Populationsökologie und angewandte lineare Algebra: Leslie-Matrix, Eigenwert λ.

Wichtige Begriffe

Leslie-Matrix
Altersstruktur
dominanter Eigenwert
stabile Altersverteilung
Fertilität
Überleben

So funktioniert es

Die Leslie-Matrix aktualisiert den Altersvektor: die erste Zeile enthält die Fertilitäten F_i, die Nebendiagonale die Überlebenswahrscheinlichkeiten S_i. Bei wiederholter Multiplikation strebt das Gesamtwachstum gegen den dominanten Eigenwert λ. Die Altersanteile konvergieren gegen den zugehörigen Eigenvektor — die stabile Altersverteilung.

Wichtige Gleichungen

n_{t+1} = L n_t, L = [[F1,F2,F3],[S0,0,0],[0,S1,S2]]

Der dominante Eigenwert λ gibt das langfristige Wachstum; der Eigenvektor die stabile Altersverteilung

Häufige Fragen

Was zeigt die Leslie-Matrix?: Wie sich der Vektor der Anzahlen nach Alter von Schritt zu Schritt ändert. Die erste Zeile ist der Beitrag jeder Gruppe zu den Neugeborenen, die Nebendiagonale sagt, wer in die nächste Klasse überlebt.
Was bedeutet λ?: λ ist der asymptotische Faktor pro Schritt: n(t) ∼ λ^t. Bei λ > 1 wächst die Population, bei λ < 1 schrumpft sie, bei λ = 1 bleibt die Anzahl im Grenzwert konstant.
Warum stabilisieren sich die Altersanteile?: Sobald ein Eigenwert dominiert, richtet wiederholtes Multiplizieren den Populationsvektor nach dem zugehörigen Eigenvektor aus — das ist die stabile Altersverteilung.

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