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Accueil/Astronomie et le ciel/Relation énergie-impulsion relativiste

Relation énergie-impulsion relativiste

E² = (pc)² + (mc²)² : hyperbole de masse, limite newtonienne et asymptote ultrarelativiste E = pc.

Grandeur imposée

0.6

Pour une particule de masse m, la relation énergie-impulsion relativiste s’écrit E² = (pc)² + (mc²)². Avec m = 1 et c = 1, on trace l’hyperbole verte E = √(p² + 1). Deux limites l’encadrent : la parabole newtonienne E ≈ 1 + p²/2 (faible impulsion) et l’asymptote de type photon E = pc (ultrarelativiste). Faites varier β, p ou T : les quatre grandeurs (β, γ, p, T) restent liées — cinématique des accélérateurs et des rayons cosmiques.

Mesures

β0.60000
γ1.25000
p (mc)0.75000
E (mc²)1.25000
T (mc²)0.25000

À propos du modèle

La relation énergie-impulsion relativiste : E² = (pc)² + (mc²)². En unités m = c = 1, l’hyperbole de masse verte est E = √(p² + 1), encadrée par la parabole newtonienne E ≈ 1 + p²/2 à faible impulsion et par l’asymptote ultrarelativiste E = pc pour un photon ou lorsque E ≫ mc². Les curseurs indépendants β, p ou énergie cinétique T gardent β, γ, p et T liés par γ = 1/√(1 − β²), E = γmc² et T = (γ − 1)mc². Hypothèses : particule libre, masse au repos fixée, pas d’interactions ni de réaction de rayonnement. C’est la cinématique de base des accélérateurs et des rayons cosmiques : on voit à quel point l’énergie cinétique croît plus vite que ½mv² dès que β n’est plus petit.

Public : Physique moderne et physique des particules : relation E–p, énergie au repos, limite ultrarelativiste.

Notions clés

  • relation énergie-impulsion relativiste
  • énergie au repos
  • énergie cinétique
  • facteur de Lorentz
  • limite ultrarelativiste
  • hyperbole de masse

Comment ça marche

La relation énergie-impulsion relativiste trace l’hyperbole E² = (pc)² + (mc²)². À faible impulsion, elle coïncide avec le développement newtonien E ≈ mc² + p²/2m ; à la limite ultrarelativiste (E ≫ mc²), elle tend vers la droite E = pc, comme pour un photon.

Questions fréquentes

Pourquoi l’énergie cinétique n’est-elle pas égale à mv²/2 ?
La formule newtonienne T = p²/(2m) est le développement à petit p de T = E − mc² sur l’hyperbole. À grand p, E ≈ pc et T croît presque linéairement avec p, bien au-dessus de ½mv². Pour des particules en GeV, la formule classique sous-estime fortement l’énergie — piège fréquent à l’examen.
Que montrent la parabole et l’asymptote E = pc ?
La parabole est la limite newtonienne, collée à l’hyperbole près de p = 0. La droite E = pc est la relation du photon (m = 0) et l’asymptote ultrarelativiste des particules massives. Les trajectoires massives n’atteignent jamais la droite de lumière ; elles s’en approchent lorsque γ → ∞.
Si l’on fixe β, comment sont déterminés p et T ?
β fixe γ, puis p = γβmc et T = (γ − 1)mc² (sur le graphe, m = c = 1). Changer le curseur indépendant ne fait que choisir quelle grandeur on tourne ; les autres se mettent à jour en restant sur la même couche de masse. L’énergie au repos mc² reste l’intersection verticale de l’hyperbole.