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Início/Astronomia e o céu/Energia e momento relativísticos

Energia e momento relativísticos

E² = (pc)² + (mc²)²: hipérbole de massa, limite newtoniano e assíntota ultrarrelativística E = pc.

Controle

0.6

Para uma partícula de massa m a relação entre energia e momento relativísticos é E² = (pc)² + (mc²)². Com m = 1 e c = 1 desenha-se a hipérbole verde E = √(p² + 1). Dois limites a emolduram: a parábola newtoniana E ≈ 1 + p²/2 (momento pequeno) e a assíntota do tipo fóton E = pc (ultrarrelativístico). Mova β, p ou T para ver como as quatro grandezas (β, γ, p, T) se amarram — o núcleo operacional da mecânica relativística usada em aceleradores de partículas e na física dos raios cósmicos.

Grandezas medidas

β0.60000
γ1.25000
p (mc)0.75000
E (mc²)1.25000
T (mc²)0.25000

Sobre o modelo

Energia e momento relativísticos: E² = (pc)² + (mc²)². Nas unidades m = c = 1 a hipérbole de massa verde é E = √(p² + 1), limitada pela parábola newtoniana E ≈ 1 + p²/2 em momento pequeno e pela assíntota ultrarrelativística E = pc para fótons ou E ≫ mc². Os controles independentes de β, p ou da energia cinética T mantêm β, γ, p e T ligados por γ = 1/√(1 − β²), E = γmc² e T = (γ − 1)mc². Hipóteses: partícula livre, massa de repouso fixa, sem interações e sem reação de radiação. É a cinemática básica de aceleradores e raios cósmicos: vê-se quanto a energia cinética cresce mais depressa que ½mv² quando β já não é pequeno.

Para quem: Física moderna e física de partículas: relação entre E e p, energia de repouso, limite ultrarrelativístico.

Conceitos-chave

  • energia e momento relativísticos
  • energia de repouso
  • energia cinética
  • fator de Lorentz
  • limite ultrarrelativístico
  • superfície de massa

Como funciona

A relação entre energia e momento relativísticos define a hipérbole E² = (pc)² + (mc²)². Em momento pequeno ela coincide com o desenvolvimento newtoniano E ≈ mc² + p²/2m; no limite ultrarrelativístico (E ≫ mc²) tende à reta E = pc, como no fóton.

Perguntas frequentes

Por que a energia cinética não é mv²/2?
A expressão newtoniana T = p²/(2m) é o desenvolvimento em p pequeno de T = E − mc² sobre a hipérbole. Em p grande tem-se E ≈ pc, e T cresce quase linearmente com p, bem acima de ½mv². A fórmula clássica para partículas com energia em GeV subestima fortemente a energia — armadilha frequente em provas.
O que mostram a parábola e a assíntota E = pc?
A parábola é o limite newtoniano, que se cola à hipérbole perto de p = 0. A reta E = pc é a relação do fóton (m = 0) e a assíntota ultrarrelativística das partículas com massa. As trajetórias com massa nunca alcançam a linha da luz; aproximam-se dela quando γ → ∞.
Se se fixar β, como ficam determinados p e T?
β fixa γ; em seguida p = γβmc e T = (γ − 1)mc² (no gráfico, m = c = 1). Trocar o controle independente só escolhe qual grandeza girar; as demais se atualizam e permanecem na mesma casca de massa. A energia de repouso mc² continua a ser a interseção vertical da hipérbole.