¿Por qué distintos arranques dan distintos clústeres?

Lloyd reduce de forma monótona la función objetivo, pero solo hasta un mínimo local de un problema no convexo. Distintos centroides iniciales caen en distintas «trampas»: por eso a menudo se hacen varios reinicios o una inicialización inteligente (k-means++).

¿Se garantiza la partición globalmente óptima?

No: incluso en el plano, la optimización global exacta de k-medias es NP-difícil en el peor caso. Las iteraciones de Lloyd son un método heurístico rápido que en nubes «suaves» suele funcionar bien.

¿Qué hacer si un clúster se vacía?

En el código de producción a menudo se reinicializa el centroide (por ejemplo, en el punto más lejano). Aquí el clúster vacío deja el centroide viejo, para no perder la etiqueta a mitad del paso; en la siguiente asignación la composición puede cambiar.

K-medias (algoritmo de Lloyd)

Puntos en el plano, número de clústeres k y centroides iniciales. Paso de Lloyd: asignar al centro más cercano y llevar el centroide al centro de masa. La demostración es una mezcla de gaussianas; suma de cuadrados intra-clúster.

Sobre el modelo

El método de k-medias parte un conjunto finito de puntos en k grupos, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias euclidianas a los centroides. Aquí está el algoritmo clásico de Lloyd: con k centros fijos se alternan el paso de asignación (cada punto → el centroide más cercano, celdas de Voronoi) y el de actualización (centroide ← media de sus puntos). En un paso completo la suma de cuadrados intra-clúster no crece: la asignación es óptima con centros fijos y la media es el óptimo con etiquetas fijas. Los centroides iniciales son k puntos de datos distintos, elegidos al mezclar con semilla controlada; la demostración da una mezcla de gaussianas. Un clúster vacío conserva el centroide anterior: recurso de aula, sin la lógica completa de k-means++.

Para quién: Análisis de datos: aprendizaje no supervisado, diagrama de Voronoi, minimización alternada.

Conceptos clave

k-medias
algoritmo de Lloyd
centroide
celda de Voronoi
suma de cuadrados intra-clúster
mezcla de gaussianas
mínimo local
clúster vacío

Cómo funciona

Algoritmo de Lloyd: paso de asignación — cada punto al más cercano de los k centroides; paso de actualización — el centroide al centro de masa de sus puntos. El arranque son k puntos de datos al azar; la demostración es una mezcla de gaussianas. La suma de cuadrados intra-clúster no crece en un paso completo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué distintos arranques dan distintos clústeres?: Lloyd reduce de forma monótona la función objetivo, pero solo hasta un mínimo local de un problema no convexo. Distintos centroides iniciales caen en distintas «trampas»: por eso a menudo se hacen varios reinicios o una inicialización inteligente (k-means++).
¿Se garantiza la partición globalmente óptima?: No: incluso en el plano, la optimización global exacta de k-medias es NP-difícil en el peor caso. Las iteraciones de Lloyd son un método heurístico rápido que en nubes «suaves» suele funcionar bien.
¿Qué hacer si un clúster se vacía?: En el código de producción a menudo se reinicializa el centroide (por ejemplo, en el punto más lejano). Aquí el clúster vacío deja el centroide viejo, para no perder la etiqueta a mitad del paso; en la siguiente asignación la composición puede cambiar.

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