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Startseite/Optik und Licht/Kaleidoskop

Kaleidoskop

Ein Punkt wird durch Drehung um 360°/N und wahlweise Spiegelung vervielfacht: zyklische oder diedrische Symmetrie, keine Glasröhre.

Symmetrie

8
0.38
0.85
0.22
42 °/s

Kein Glaskaleidoskop — eine laufende Zeichnung, vervielfacht durch Drehung (und wahlweise Spiegelung) um die Mitte.

Zum Modell

Ein Kaleidoskop erzeugt ein symmetrisches Muster durch mehrfache Spiegelungen. Hier statt des Strahlengangs eine „Perle“ und Symmetrieabbildungen: Drehung um 2π/N (zyklische Gruppe C_N) und, wenn der Spiegel eingeschaltet ist, Spiegelung — Diedergruppe D_N. Die Spur aller Kopien ergibt das Muster. Das Reflexionsgesetz steht hinter diesen Kopien, aber Wellenlängen, Helligkeit und reale Spiegel fehlen. Auf dem Bildschirm die Bahn eines Punktes und seine N oder 2N Kopien. Translationen, Spiralen und mehrere unabhängige Zentren baut das Modell nicht.

Für wen: Klassen 7–9, Geometrie und Optik: Symmetrie, Spiegelung, Drehung.

Wichtige Begriffe

  • Kaleidoskop
  • Drehsymmetrie
  • Spiegelung
  • Diedergruppe
  • Reflexionsgesetz
  • zyklische Gruppe

So funktioniert es

Ein Punkt läuft auf einer Bahn; seine Kopien entstehen durch Drehung um 2π/N und, wenn eingeschaltet, durch Spiegelung. Die Spur der Kopien gibt ein symmetrisches Muster — ein Kaleidoskop ohne Glasröhre und ohne Strahlengang. Auf dem Bildschirm Sektoren und Spur.

Häufige Fragen

So ist ein echtes Kaleidoskop gebaut?
Dem Sinn nach ja: zwei oder drei Spiegel unter festen Winkeln geben viele Bilder. Hier ein ideales unendliches Muster eines Punktes: die fortgesetzten Spiegelungen sind durch Drehung und Spiegelung ersetzt.
Warum macht der Spiegel das Muster dichter?
Zur Drehsymmetrie kommt Spiegelsymmetrie: zu jedem gedrehten Punkt kommt eine gespiegelte Kopie. Die Zahl der Punkte pro Schritt verdoppelt sich — Gruppe D_N statt C_N.
Was ist die Ordnung N?
Wie oft das Muster bei einer vollen Drehung um 360° mit sich selbst zur Deckung kommt. Der Drehwinkel ist 360°/N. Bei N = 4 Wiederholung alle 90°.
Kann man jedes symmetrische Muster so erzeugen?
Nein. Nur zyklische C_N und diedrische D_N mit einem Zentrum. Ein Ornament mit Translationen, eine Spirale oder mehrere unabhängige Zentren liefert dieses Modell nicht.