Um ponto se copia por uma rotação de 360°/N e, se quiser, por uma reflexão: simetria cíclica ou diedral, não um tubo de vidro.
Sobre o modelo
O caleidoscópio produz um padrão simétrico por reflexões repetidas em espelhos. Aqui, em vez do traçado de raios, há uma «conta» e transformações de simetria: rotação de ângulo 2π/N (grupo cíclico C_N) e, se o espelho estiver ligado, uma reflexão — o grupo diedral D_N. O rastro de todas as cópias forma o desenho. Por trás dessas cópias está a lei da reflexão, mas não se calculam comprimentos de onda, brilho nem defeitos dos espelhos. Na tela, a órbita do ponto e suas N ou 2N cópias. O modelo não constrói translações, espirais nem vários centros de simetria independentes.
Para quem: Ensino fundamental, geometria e óptica: simetria, reflexão, rotação.
Conceitos-chave
caleidoscópio
simetria de rotação
reflexão
grupo diedral
lei da reflexão
grupo cíclico
Como funciona
Um ponto percorre uma órbita; suas cópias saem por uma rotação de 2π/N e, se estiver ligado, por uma reflexão. O rastro das cópias dá um padrão simétrico — modelo de caleidoscópio sem tubo de vidro e sem traçado de raios. Na tela, os setores e o rastro.
Perguntas frequentes
Um caleidoscópio de verdade é assim?
Em essência, sim: dois ou três espelhos em ângulos fixos dão muitas imagens. Aqui o padrão é ideal e infinito, de um objeto pontual: as reflexões contínuas são substituídas por uma rotação e um espelho.
Por que o espelho deixa o desenho mais denso?
À simetria de rotação soma-se a especular: cada ponto girado ganha uma cópia refletida. O número de pontos em cada passo duplica: grupo D_N em vez de C_N.
O que é a ordem N?
Quantas vezes o padrão coincide consigo mesmo num giro de 360°. O ângulo de rotação é 360°/N. Com N = 4 o padrão se repete a cada 90°.
Qualquer desenho simétrico se obtém assim?
Não. Só os cíclicos C_N e os diedrais D_N com um só centro. Este modelo não dá um ornamento com translações, uma espiral nem vários centros independentes.