Одна точка копируется поворотом на 360°/N и, по желанию, отражением: циклическая или диэдральная симметрия, не стеклянная трубка.
О модели
Калейдоскоп даёт симметричный узор за счёт многократных отражений в зеркалах. Здесь вместо хода лучей одна «бусина» и преобразования симметрии: поворот на угол 2π/N (циклическая группа C_N) и, если включено зеркало, отражение — диэдральная группа D_N. След всех копий складывается в узор. Закон отражения стоит за этими копиями, но длины волн, яркость и неидеальность зеркал не считаются. На экране орбита точки и её N или 2N копий. Трансляции, спирали и несколько независимых центров симметрии модель не строит.
Для кого: 7–9 класс, геометрия и оптика: симметрия, отражение, поворот.
Ключевые понятия
калейдоскоп
поворотная симметрия
отражение
диэдральная группа
закон отражения
циклическая группа
Как это работает
Одна точка движется по орбите; её копии получают поворотом на 2π/N и, если включено, отражением. След копий даёт симметричный узор — модель калейдоскопа без стеклянной трубки и без хода лучей. На экране сектора и след.
Часто задаваемые вопросы
Так устроен настоящий калейдоскоп?
По смыслу да: два или три зеркала под фиксированными углами дают много изображений. Здесь идеальный бесконечный узор от точечного объекта: непрерывные отражения заменены поворотом и зеркалом.
Почему зеркало делает узор гуще?
К поворотной симметрии добавляется зеркальная: у каждой повёрнутой точки появляется отражённая копия. Число точек на шаге удваивается — группа D_N вместо C_N.
Что такое порядок N?
Сколько раз узор совмещается сам с собой за оборот на 360°. Угол поворота 360°/N. При N = 4 повтор каждые 90°.
Любой симметричный узор так можно получить?
Нет. Только циклические C_N и диэдральные D_N с одним центром. Орнамент с переносами, спираль или несколько независимых центров эта модель не даёт.