Wie hängen Halbwertszeit und Zerfallskonstante zusammen?

λ = (ln 2)/T₁/₂. Nach der Zeit T₁/₂ bleibt die Hälfte der Kerne: N(T₁/₂) = N₀/2.

Warum hängt die Halbwertszeit nicht von der Kernzahl ab?

Die Zerfallswahrscheinlichkeit eines einzelnen Kerns je Zeiteinheit ist konstant und unabhängig von den übrigen. Daher ist T₁/₂ eine Eigenschaft des Nuklids, nicht der Probengröße.

Was ist säkulares Gleichgewicht?

Lebt die Mutter viel länger als die Tochter (T₁/₂ der Mutter ≫ T₁/₂ der Tochter), folgt die Tochteraktivität nach einem Übergangsstück dem Zerfall der Mutter: λ₂N₂ ≈ λ₁N₁.

Ist die Aktivität in Becquerel angegeben?

Nein: die Größen sind proportional zu λN in denselben willkürlichen Zeiteinheiten wie das Diagramm. Für SI braucht man ein reales N₀ und λ in s⁻¹.

Radioaktiver Zerfall

Gesetz N(t) aus der Halbwertszeit T₁/₂; wahlweise Kette Mutter → Tochter → stabil (Batemansche Gleichungen).

Zum Modell

Radioaktiver Zerfall folgt dem Exponentialgesetz: bei konstanter Zerfallswahrscheinlichkeit je Zeiteinheit gilt N(t) = N₀ e^{−λt}, und die Zerfallskonstante hängt mit der Halbwertszeit zusammen: λ = (ln 2)/T₁/₂. Im Einzelnuklid-Modus wird der Anteil der überlebenden Kerne gezeichnet — dasselbe wie die Lösung von dN/dt = −λN. Der Kettenmodus ist der Folgezerfall Mutter → Tochter → stabil: dN₁/dt = −λ₁N₁, dN₂/dt = λ₁N₁ − λ₂N₂, dN₃/dt = λ₂N₂ mit unabhängigen T₁/₂. Die Anteile nach dem Runge-Kutta-Schritt 4. Ordnung werden auf N₁ + N₂ + N₃ = 1 umnormiert. Die gelbe Marke ist das Maximum des Tochteranteils; der Vergleich mit den Halbwertszeiten eignet sich für transientes und säkulares Gleichgewicht. Die Aktivität ist proportional zu λN in willkürlichen Einheiten, nicht in Becquerel; Verzweigungen, Ansprechvermögen des Detektors und statistische Schwankungen fehlen.

Für wen: Gymnasium (Oberstufe) und erstes Semester: Exponentialzerfall, Halbwertszeit, Aktivität und Zerfallsketten.

Wichtige Begriffe

radioaktiver zerfall
halbwertszeit
zerfallskonstante
exponentialgesetz
mutter- und tochternuklid
aktivität
säkulares gleichgewicht
batemansche gleichungen

So funktioniert es

Exponentialzerfall: λ = ln 2 / T₁/₂, Mutteranteil N/N₀ = e^{−λt}. Der Kettenmodus zeigt drei Anteile (Mutter, Tochter, stabiles Produkt) nach dem linearen Bateman-System; nach dem RK4-Schritt werden die Anteile auf die Summe 1 umnormiert. Der gelbe Punkt ist das Maximum des Tochteranteils. Die Aktivität in der Tafel ist proportional zu λN in denselben willkürlichen Einheiten, nicht Becquerel. Wechsel von Modus oder T₁/₂ startet den Lauf neu; erreichen die Kurven den rechten Fensterrand, drücken Sie für eine Wiederholung „Zurücksetzen“.

Wichtige Gleichungen

Ein Nuklid: dN/dt = −λN, λ = ln 2 / T₁/₂

Häufige Fragen

Wie hängen Halbwertszeit und Zerfallskonstante zusammen?: λ = (ln 2)/T₁/₂. Nach der Zeit T₁/₂ bleibt die Hälfte der Kerne: N(T₁/₂) = N₀/2.
Warum hängt die Halbwertszeit nicht von der Kernzahl ab?: Die Zerfallswahrscheinlichkeit eines einzelnen Kerns je Zeiteinheit ist konstant und unabhängig von den übrigen. Daher ist T₁/₂ eine Eigenschaft des Nuklids, nicht der Probengröße.
Was ist säkulares Gleichgewicht?: Lebt die Mutter viel länger als die Tochter (T₁/₂ der Mutter ≫ T₁/₂ der Tochter), folgt die Tochteraktivität nach einem Übergangsstück dem Zerfall der Mutter: λ₂N₂ ≈ λ₁N₁.
Ist die Aktivität in Becquerel angegeben?: Nein: die Größen sind proportional zu λN in denselben willkürlichen Zeiteinheiten wie das Diagramm. Für SI braucht man ein reales N₀ und λ in s⁻¹.

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