Welcher Effekt ist für GPS-Satelliten stärker: Geschwindigkeit oder Gravitation?

Stärker ist der gravitative. Wegen des schwächeren Potentials in der Höhe gehen die Uhren am Satelliten vor. Der kinematische Effekt der SRT bremst sie. Der gravitative Beitrag ist etwa doppelt so groß, daher eilen die Satellitenuhren den Erduhren insgesamt voraus.

Warum korrigiert man so kleine Zeitunterschiede?

Die Position folgt aus der Laufzeit der Signale mehrerer Satelliten. Licht legt etwa 300 m in einer Mikrosekunde zurück. Ein unberücksichtigter Gang von einigen zehn Mikrosekunden pro Tag gibt einen Entfernungsfehler von Kilometern — das System wäre für die Navigation unbrauchbar.

Wie genau ist die Abschätzung für echte GPS-Satelliten?

Die Größenordnung stimmt: Höhe etwa 20 200 km. Erdrotation (Sagnac-Effekt) und Abplattung fehlen, die Terme erster Ordnung liefern aber mehr als 99 % der nötigen relativistischen Korrektur.

Ist die Satellitengeschwindigkeit unabhängig von der Höhe?

Nein. Für eine stabile Kreisbahn gilt v = √(GM/(R+h)). Die Regler kann man getrennt bewegen, um die Effekte zu trennen; auf der realen Bahn sind sie gekoppelt.

GPS und Relativität

Relativistische Gangdifferenz der Borduhren: ART-Korrektur im schwachen Feld und kinematische SRT-Korrektur aus Höhe und Bahngeschwindigkeit.

Bei Höhen und Geschwindigkeiten der mittleren Erdbahn wie beim GPS heben sich gravitativer Gewinn und SRT-Verlust teilweise auf; der Gesamteffekt liegt bei einigen zehn Mikrosekunden pro Tag — dieselbe Größenordnung wie die grobe Summe der beiden Terme in der Seitenleiste.

Zum Modell

GPS und Relativität: die Atomuhren an Bord der Satelliten gehen anders als gleiche Uhren auf der Erde. Es wirken die Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie wegen der Bahngeschwindigkeit und die gravitative Frequenzverschiebung der allgemeinen Relativitätstheorie wegen des schwächeren Potentials in der Höhe. In der Näherung schwacher Felder ist der kinematische Faktor ≈ 1 − v²/(2c²), der gravitative ≈ 1 + ΔΦ/c², wobei ΔΦ die Differenz der Newtonschen Potentiale von Satellit und Oberfläche ist. Auf einer Kreisbahn beträgt der gesamte Gang gegenüber dem Boden etwa +38 μs pro Tag: der gravitative Gewinn überwiegt den kinematischen Verlust. Bahnen kreisförmig, Erde nicht rotierend; Abplattung, Sagnac-Effekt und Anziehung von Sonne und Mond fehlen. Die Regler von Höhe und Geschwindigkeit trennen die Beiträge; auf der Kreisbahn gilt v = √(GM/(R+h)). Ohne Korrektur wächst der Entfernungsfehler über den Tag auf Kilometer.

Für wen: Studium: SRT und ART; Leistungskurs — moderne Physik und Navigation.

Wichtige Begriffe

zeitdilatation
spezielle relativitätstheorie
allgemeine relativitätstheorie
gravitationspotential
atomuhren
satellitennavigation

So funktioniert es

Auf der Tafel stellt man Höhe und Bahngeschwindigkeit ein. Die Potentialdifferenz im schwachen Feld beschleunigt den Gang der Uhren am Satelliten; die Bahnbewegung verlangsamt sie (SRT). Angezeigt werden die täglichen Abschätzungen beider Korrekturen und der Summe. Bei Höhen der mittleren Erdumlaufbahn wie beim GPS ist der gravitative Term größer, der gesamte Gang liegt bei einigen zehn Mikrosekunden pro Tag. Die Erde ist kugelförmig, Ephemeriden werden nicht verwendet.

Häufige Fragen

Welcher Effekt ist für GPS-Satelliten stärker: Geschwindigkeit oder Gravitation?: Stärker ist der gravitative. Wegen des schwächeren Potentials in der Höhe gehen die Uhren am Satelliten vor. Der kinematische Effekt der SRT bremst sie. Der gravitative Beitrag ist etwa doppelt so groß, daher eilen die Satellitenuhren den Erduhren insgesamt voraus.
Warum korrigiert man so kleine Zeitunterschiede?: Die Position folgt aus der Laufzeit der Signale mehrerer Satelliten. Licht legt etwa 300 m in einer Mikrosekunde zurück. Ein unberücksichtigter Gang von einigen zehn Mikrosekunden pro Tag gibt einen Entfernungsfehler von Kilometern — das System wäre für die Navigation unbrauchbar.
Wie genau ist die Abschätzung für echte GPS-Satelliten?: Die Größenordnung stimmt: Höhe etwa 20 200 km. Erdrotation (Sagnac-Effekt) und Abplattung fehlen, die Terme erster Ordnung liefern aber mehr als 99 % der nötigen relativistischen Korrektur.
Ist die Satellitengeschwindigkeit unabhängig von der Höhe?: Nein. Für eine stabile Kreisbahn gilt v = √(GM/(R+h)). Die Regler kann man getrennt bewegen, um die Effekte zu trennen; auf der realen Bahn sind sie gekoppelt.

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